浙江省宁波市储能中学2024-2025学年九年级上学期12月“储能杯”数学竞赛试卷(含详解).docxVIP

（2025年）

储能中学初三“储能杯”数学竞赛试卷

一、选择题

1.在△ABC中,sinA=23

A.0°A30°B.30°

2.化简9?

A.5?3B.5?2C.3

3.已知x2?1

A.34B.54C.74

4.X,Y均为整数,

A.0B.1C.无数组D.以上都不对

5.a1,a2,a3

A.84B.85C.86D.87

二、填空题

6.令x=3?

7.小明有六件工艺品,四件正品,两件次品,小明对其进行逐一检查,检查次数小于等于三次的概率_____.

8.如图,△ABC是直角三角形,AB=4,AC=3

9.现有数列1,2,

10.已知x=x?

11.如图,在△ABC中,BDCD=p

三、解答题

12.现有x,y,z三个正整数,

13.已知fx=xn+

(1)求fx

(2)对于任意整数x,使得fx≥k

14.是否存在正整数a,b,c满足

15.如图,在四边形ABCD中,∠CAB=∠CAD,∠ABC=∠ACD,AE⊥

解析

1.解析：

构造一个角的角度为A的直角三角形,斜边长度为3,与角A相对的直角边长度为2,由勾股定理得,第三边的边长为5,大于2,小于23,因此∠A范围在30°到45

2.解析：

原式=9

选B.

3.解析：

对原式变形x4?5x2+4?K=0可设t=x2得,t2

4.解析：

X2+X+1

2k+12=

然而,一个完全平方数除以4的余数只能为0或1,奇数的平方除以4的余数必定为1,

考虑偶数的平方2k2=4

选A.

5.解析：

考虑将较大的数与较小的数交替配对,

最小的数为1,两侧的数应为6、7,

最大的数为7,两侧的数应为1、2,

因此可以得到序列6、1、7、2,

2右侧应当填写剩余的数中的最大数5,

6左侧应当填写剩余的数中的最小数3,

得到序列3、

二、填空题

6.解析：

x2=4?23,直接把x和x2

7.解析：

由题意得:P(检查次数小于等于三次的概率)=P(检查次数等于三次)+P(检查次数等于两次)=4

8.解析：

设圆心为O,设AB,AC分别与圆O切于点D,E,连接OD,OE,显然四边形ADOE是正方形,设圆的半径为r,则AD=AE=

9.解析：

显然该数列由1个1,2个2,3个3,??n个n组成,而n项和为1+nn2,要求第2024项,即要使n项和趋于2024,当n=63

10.解析：

由题意有x?1?1x=x?1x,两边平方并化简有x2?x+1

11.解析：

显然S△ABR+S△ACQ+S△BCP+S△PQR=S△ABC①,以△ABE为例,其被CF所截,由梅涅劳斯定理得BFFA?ACCE?EPPB=

三、解答题

12.解析：

注意到,x一定与x?1互素,故要么x=

不妨设max{x,y,z

若x≥4,则由x?1∣y+1得x?1≤y+1≤x+12x?1,故只有

(i)若z=x?1,则x?2∣

(ii)若z=x,可直接得到

综上所有满足条件的(x,y,z),可得xyz的最小值为2×2×

13.解析：

(1)由题代入得到1+a+b=8①,?1n?a+b=0②,

若n为偶数,由①②即可得到a=4b

故fx

(2)fx=x3+3x+4=x+1x2?x+4≥

(解法二）:k≤x+

14.解析：

联想到海伦公式和秦九韶公式之间的变形,a+b+ca+b?cb+

15.解析：

证明:如图,取△ACB的垂心P和△ACD的垂心

连结DH、BH、DQ、BP、QH、PH、AH、CP、HE.

不难发现△ACB、△AEF、△ACD三个三角形都是旋转相似的,因此我们可以证明△AHE∞△APB,进一步地,可证△AHP∽△AEB,同理

由角度关系我们可以得到∠DQH=∠AQD+∠AQH

又,由相似关系知:QHPH=CEBE

而CPBP=HE

故DQBP=CP?ABBP?