2025年中考数学复习： 与图形全等有关的线段相等问题.docx

与图形全等有关的线段相等问题

知识与方法

我们实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，而是处于各种不同的位置，但其中一个可由另一个经过平移、翻折、旋转等变换而成.了解全等变换的几种形式，有助于发现全等三角形、确定相等线段.

1.如图1-1-59，利用角平分线的对称性构建全等(翻折全等)得相等线段

角平分线模型1 角平分线模型2

2.利用图形的变换(平移或旋转)构建全等得相等线段

如图1-1-60,△ABC和△ADE均为等腰三角形,∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE,将△ADE绕着顶点A旋转的过程中，连接BD,CE,始终存在△BAD≌△CAE.

如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，所以这个旋转全等模型常称为“手拉手模型”.

3.利用“一线三等角”构建全等得相等线段同侧(如图1-1-61):

异侧(如图1-1-62):

典例精析

例如图1-1-63,在等腰直角三角形ABC中,AD是角平分线，过点C作CD⊥AD于点D,过点B作BF⊥AD于点F.探究BF,CD的数量关系.

解法一：(角平分线上任一点到角的两边的距离相等)

如图1-1-64,作EG⊥AC,垂足为点G.

∵AE是∠BAC的平分线,∠ABE=90°,

∴EB=EG.

∵∠BCA=45

∵∠BFE=∠D=90°,∠BEF=∠CED,

∴△BEF∽△CED.

∴

∴CD=

解法二：(角分垂直，等腰复原)

如图1-1-65,延长AB,CD交于点G.

∵AD是角平分线,CD⊥AD,

∴∠CAD=∠GAD,∠ADC=∠ADG=90°.

∵AD=AD,∴△CAD≌△GAD.

∴CD=DG,AC=AG.

又GD⊥AD,BF⊥AD,

∴BF∥GD.

∴

∴CD=

解法三：(角分垂直，等腰复原)

如图1-1-66,延长BF交AC于点B.

同解法二易得AB=AB,BF=FB.

∵BF⊥AD,CD⊥AD,∴BB∥CD.

∴

∴CD=

解法四：(角平分线+平行线→等腰三角形)

如图1-1-67,过点C作CA∥AB,交AD延长线于点A′.

∵AB∥AC,AD是角平分线,

∴∠

∴AC=

易知BF

易知△

∴CD=

解法五：(直角三角形斜边中线)

如图1-1-68,取AC中点G,连接BG,GD,BD.

则BG⊥AC,GA=GB=GD=GC,

∠DGC=∠DAG+∠ADG=45°,∠BGD=90°?45°=45°.

∴∠GDB=67.5°,∠FDB=45°.

∴△BFD为等腰直角三角形，BD=

∵BG=CG,∠BGD=∠DGC,GD=GD,

∴△BDG≌△CDG,

∴CD=BD=

解法六：(隐圆，上下相似，左右相似)

如图1-1-69,连接BD,在△AEB和△DEC中,

∵∠BEA=∠DEC,∠ABE=∠EDC,

∴△AEB∽△CED.

∴

又∠BED=∠AEC,

∴△DEB∽△CEA.

∴∠DBC=∠DAC,∠BDA=∠BCA.

∵AD是角平分线,∴∠BAD=∠CAD.

∴∠DBC=∠DCB.

∴BD=CD.

∵∠BCA=45°,

∴∠BDA=45°.

∴△BFD是等腰直角三角形.

∴CD=BD=

[注]四点共圆在考试中一般不直接用.此题可利用直角三角形斜边中线的性质进行转化，进而利用圆的定义证明，才可得B，A，C，D四点共圆.

进阶训练

1.如图1-1-70,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,交BC于点D,过D作DE⊥BA于点E,点F在AC上,且BD=DF.若AB=7.4,AF=1.4,求线段BE的长.

2.[问题]如图1-1-71①,点D是∠ABC的平分线BP上一点,连接AD,CD,若∠A与∠C互补，则线段AD与CD有什么数量关系?

[探究]

探究一:如图1-1-71②,若∠A=90°,则∠C=180°?∠A=90°,,即AD⊥AB,CD⊥BC,又因为BD平分∠ABC,所以AD=CD.

理由:.

探究二:若∠A≠90°,请借助图①,探究AD与CD的数量关系并说明理由.

[结论]点D是∠ABC的平分线BP上一点,连接AD,CD,若∠A与∠C互补,则线段AD与CD的数量关系是.

[拓展]已知:如图1-1-71③,在△ABC中，AB=AC,∠A=100°,,BD平分∠ABC.求证:BC=AD+BD.

3.数学课上，王老师出示了问题：AC，BD是四边形ABCD的对角线,若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°.

(1)写出线段BC，CD，A