2025年中考数学复习：专题二 翻折问题.docx

专题二翻折问题

知识与方法

折叠问题的实质是轴对称问题，是全等变换，其性质如下：

1.图形的全等：图中必有全等图形，对应边相等、对应角相等；

2.点的对称性：对称点连线被对称轴(折痕所在直线)垂直平分.

典例精析

例1小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图2-2-1①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=1.第一步,在AB边上找一点D,将纸片沿CD折叠,点A落在A处,如图②;第二步，将纸片沿CA折叠，点D落在D处，如图③.当点D恰好落在直角三角形纸片的边上时,线段AD的长为.

答案：12或：

【简析】①当点D恰好落在直角三角形纸片的AB边上时,设AC交AB边于点E,如图2-2-2①,由题意得:△ADC≌△ADC≌△ADC,AC垂直平分线段DD，

则∠DA

从而可得.A

②当点D恰好落在直角三角形纸片的BC边上时，如图②，

由题意,得△ADC≌△ADC≌△ADC,∠ACD=∠ACD=∠AC

综上，线段AD的长为12或2

例2(沿中位线折叠)如图2-2-3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,将点A折叠到点C处，则折痕DE的长度为.

答案：3

【简析】由折叠的性质可知，DE是△ABC的中位线，∴DE=

变式1(沿边的垂直平分线折叠)如图2-2-4,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,将点A折叠到点B处，则折痕DE的长度为.

答案：5

【简析】解法一：(相似处理)

易知△ADE∽△ABC,∴AE=DE,即2.54=DE3

解法二：(勾股定理处理)

设CD=x,则.AD=BD=4?x,∴x2+32=(4?x)2.解得x=78,则

解法三：(面积处理)

∵SABC

变式2(沿角平分线折叠)如图2-2-5，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,将点C折叠到AB边上的点E处,折痕为BD,则DE的长度为.

答案：32

变式3(沿斜边中线折叠)已知，如图2-2-6，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,将点B沿斜边AB上的中线CD折叠到点E处，连接AE,则AE的长度为.

答案：7

【简析】解法一：(隐圆处理)

本题出现了斜边上的中线，可知CD=AD=BD，又由折叠可知DE=BD,则可得A,E,C,B四点共圆，转化为圆的内接四边形处理.

如图2-2-7,延长AE,BC交于点G,由折叠可知:CE=BC,

则?CE等于BC,∴∠GAC=∠BAC.则可由ASA证得△GAC≌△BAC,即GA=BA=5.设AE=x,则GE=5-x,

易知△GEC∽△GBA,则GEGB=ECAB,即5?x

解法二：(面积处理)

如图2-2-8,连接BE,由折叠性质可知CD垂直平分BE，则S四边形BCED=SCDE+S

∴BE×CD=BC×AC.∴BE=245由解法一可知∠AEB=90°,

解法三：(勾股定理处理)

如图2-2-9,过点D作DG⊥AE于G,连接BE交CD于点F,易得△DAG≌△BDF,利用等积法可求出BF=125,利用勾股定理求出DF=7

解法四：(旋转处理)

如图2-2-10,将△AEC绕点C顺时针旋转∠ECB的度数可得△ABC,

由解法一,知∠AEC+∠ABC=180°,

∴∠ABC+∠ABC=180°.则A,B,A三点共线.

过点C作CF⊥AA,垂足为F,

∴CF=

∴AB=

变式4如图2-2-11,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,将点A折叠到点A′处,且EA⊥BC,则折痕DE的长度为.

答案：4

变式5如图2-2-12,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,将点A折叠到点A处,且AB=1,则折痕DE的长度为.

答案：15

变式6如图2-2-13,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,将点A折叠到点A′处,使四边形ADAE为菱形,则折痕DE的长度为.

答案：4

例3(沿对角线折叠)如图2-2-14，将矩形纸片ABCD沿AC折叠,点B的对应点为E,线段CE交AD于点F,已知AB=3,BC=4,则线段AF的长为.

答案：25

【简析】矩形折叠一般都会形成等腰三角形，是解题的突破口.“角平分线+平行线→等腰三角形”(知2推1很重要).

解法一:(勾股定理处