2025年中考数学复习：专题四 点到直线最值问题.docx

专题四点到直线最值问题

知识与方法

基本模型：点P到直线MN的最短距离为线段PA的长.

典例精析

例1(常规题型)如图3-4-2,P是Rt△ABC斜边AB上的一点,PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,BC=6,AC=8,则线段EF长的最小值为

答案:4.8

【简析】如图3-4-3，连接PC，利用矩形的对角线相等，将所求线段EF转化为PC，再利用垂线段最短(斜大于直)即可知线段PC的最小值为4.8.

例2(对称隐藏定点型)如图3-4-4，在矩形ABCD中,BC=10,∠ABD=30°,若M,N分别是线段DB,AB上的两个动点,则AM+MN的最小值为.

答案:15

【简析】与将军饮马相结合，先作对称，把折线段化为直线段，再根据垂线段最短解决问题.

如图3-4-5,作点A关于BD的对称点A,连接MA,BA,过点A作AH⊥AB于H.

易知BA=BA,∠ABD=∠DBA=30°,

∴∠AB

∴△ABA是等边三角形.

∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=10.

在Rt△ABD中,AB=

∵AH⊥AB,∴AH=HB=53

∴

∵AM+MN=

∴AM+MN≥15.

∴AM+MN的最小值为15.

例3(运动轨迹隐藏定点型)如图3-4-6,已知AB=8，P为线段AB上的一个动点,分别以AP,PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE,点P,C,E在一条直线上,∠DAP=60°.M,N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为(结果保留根号).

答案：23

【简析】仔细阅读题目不难发现，本题中含60°的内角的菱形只是个幌子，图形看起来复杂，实际可以转化为更简单的图形，如图3-4-7①②③.本题关键在于发现△ABQ为固定的直角三角形.看起来是“点到点”，实质为“点到线”.

思路1：矩形转化

如图①,因△DAP和△BEP为等边三角形,M为PD中点,则连接AM,∠BAM始终等于30°.如图②,延长AM交BE于点Q(则Q为定点),则∠AQB始终等于90°,易得四边形PMQN为矩形,则求MN最小即求PQ最小,即当QP垂直AB时(如图③)PQ最小(斜大于直),易得PQ的长为23

思路2：代数法

因可证△PMN为直角三角形，则要求MN的最小值，即可转化为求PM2+PN2的最小值，PM和PN也可分别放入新构造的直角三角形中表示,如图3-4-7②.

设AP=x,则BP=8-x,易得PM=12x,PN=328?x,则

例4(运动隐藏直线轨迹型)如图3-4-8，在平面轴和y轴分别相交于A，B两点，动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O做匀速运动，到达点O停止运动.点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN，设运动时间为t秒.若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值.

答案：OT+PT的最小值为32

【简析】同化异:如图3-4-9①,求OT+TP的最小值，不难发现就是求OT+TN的最小值.

折化直：如图②，因为NP=AP，所以点N的轨迹可理解为将点A绕点P逆时针旋转90°所得，即点N的轨迹为过点A且使∠NAO=45°的直线，最小值可转化为“点到直线距离问题”，则OT+TN的最小值转化为点O到直线AN的最小值.如图③，因为△OAN为等腰直角三角形，斜边OA=6，所以直角边ON=32,即最小值为3

例5(运动隐藏直线轨迹型)

如图3-4-10，边长为4的等边三角形ABC中,E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是.

答案：1

【简析】找到点F的轨迹是本题的首要任务，直线型轨迹的常用寻找方法都是寻找定点定角，即找到过某一定点的定角，点的轨迹即可确定.如图3-4-11,本题中易得△AEC≌△BFC,则不难发现点F的轨迹为直线l.再根据垂线段最短，可得DF的最小值为1.

进阶训练

1.如图3-4-12,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=4,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值是()

A.2B.3C.4D.5

2.如图3-4-13,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=6,D是线段AB上一个