培优训练 专题三 平行四边形的存在性问题 2024-2025学年浙教版八年级数学下册.docx

专题三平行四边形的存在性问题

知识梳理

在平行四边形中，若已知三个顶点的位置，要确定第四个点的位置，可以分成三种情况讨论。如图1，分别以BC、AB、AC为对角线(也可以分别以AB和AC为一组邻边、以AC和BC为一组邻边、以AB和BC为一组邻边)，则第四个点分别为D?、D?,D?。已知A、B两个顶点的坐标，AB可能为平行四边形的对角线，也可能为平行四边形的一条边。

【例1】如图2，直线l?:y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l?:y=?x+2与y轴交于点C。

(1)直接写出点A、B、C的坐标分别为:A,B,C;

(2)是否存在将直线l?:y=?x+2向上或向下平移使其经过点D，且使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出所有可能的平移方式；若不存在，请说明理由。

【例2】如图3，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4交x轴于点A，直线y=?1

(1)求证:△ABC是直角三角形;

(2)平面直角坐标系内是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

【例3】如图4，在直角坐标系中，平行四边形OABC的边(OA=18,OC=82,∠AOC=45°,

(1)求点C、B的坐标。

(2)当t为何值时，AP⊥CB?此时，在平面内是否存在点M，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点M的坐标。若不存在，请说明理由。

(3)当t为何值时，△APQ的面积是平行四边形OABC面积的3

【例4】如图5，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C在坐标轴上，B(8，4)，将矩形沿EF折叠，使点A与点C重合。

(1)求点E的坐标;

(2)点P从O出发，沿折线O-A-E方向以每秒2个单位的速度匀速运动，到达终点E时停止运动，设点P的运动时间为t，△PCE的面积为S，求S与t的关系式，并直接写出t的取值范围。

(3)在(2)的条件下,当PA=3

【例5】如图6，已知在平面直角坐标系中，直线.y=?3

(1)求点B的坐标;

(2)点M为直线AB上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线OC于点Q，设点M的横坐标为m，线段MQ的长度为d，求d与m的函数关系式(请直接写出自变量m的取值范围)；

(3)当点M在线段AB(点M不与A、B重合)上运动时，在坐标系内是否存在一点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形为菱形?若存在，直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由。

【例6】如图7，正方形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，顶点B在第一象限，.AB=6。点E、F分别在边AB和射线OB上运动(E、F不与正方形的顶点重合)，(OF=22BE,设

(1)当t=2时,则AE=,BF=;

(2)当点F在线段OB上运动时，若△BEF的面积为·94

(3)在整个运动过程中，

①平面上是否存在一点P，使得以P、O、E、F为顶点的四边形是菱形?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。

②若函数y=45

【例7】如图8，在平面直角坐标系xOy中，直线.y=x+2与y=kx+2分别交x轴于点A、B，两直线交于y轴上同一点C，点D的坐标为?2

(1)求点F的坐标;

(2)若∠OCB=∠ACD,求k的值；

(3)在(2)的条件下，过点F作x轴的垂线l，点M是直线BC上的动点，点N是x轴上的动点，点P是直线l上的动点，使得以B、P、M、N为顶点的四边形是菱形，求点P的坐标。

【例8】如图9，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y=kxk≠0的第一象限内的图象上，OA=4,OC=3,动点P在x轴的上方，且满足

(1)若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；

(2)连接PO、PA,求PO+PA的最小值;

(3)若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标。

【例9】如图10,在矩形ABCD中,AB=4,BC=7,∠ABC的角平分线交AD于点E，动点P从C出发以每秒2个单位的速度向点B运动，过点P作PF‖BE,与边CD交于点F，过点F作FG‖BC,与BE交于点G。当点F与点D重合时，点P停止运动，设点P运动的时间为t秒。

(1)用含t的代数式分别表示线段DF和GF的长，则有DF

(2)点P在运动过程中，平面内是否存在一点Q，使得以P、G、F、Q为顶点的四边形