2025年中考数学压轴题拔高训练 专题三等腰直角三角形存在性问题.docx

专题三等腰直角三角形存在性问题

问题与方法

问题:如图3-3-1,已知直线.y=x+1分别交x轴，y轴于A，B两点，在坐标平面内有一个点C，使得△ABC是等腰直角三角形.请你确定符合条件的点C有多少个?并求出点C的坐标.

【简析】点A，B是两个确定的点，故线段AB的长度以及在坐标系中的位置就是确定的.由于AB可能是直角边也可能是斜边，因此需分类讨论.一般需先画出所有符合题意的图形(如图3-3-2)，再充分利用等腰直角三角形直角边和斜边的比值关系构造方程求解.

易得A(--1,0),B(0,1),则(OA=OB,∴原点O满足条件，记C?

①若∠ACB=90°,，过点B作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线，两垂线的交点C?即是以AB为斜边的等腰直角三角形ABC的直角顶点，记为C?

②若∠CBA=90°,即BC=BA,,过点B作AB的垂线,交.AC?于点C??12,

③若∠CAB=90°,即AC=AB,，过点A作AB的垂线，交BC?于点C??21,，交y轴于点C?

求解等腰直角三角形存在性问题的基本策略

1.已知两个定点，确定等腰直角三角形的第三个顶点，常用“两个正方形”法：

如图3-3-3①,若A,B为两个定点,使得.△ABC为等腰直角三角形的第三个顶点为以AB为边长的两个正方形的另外两个顶点和这两个正方形对角线的交点.

2.遇到斜等腰直角三角形，常构造“K”型全等模型(如图②).

3.确定了直角，一般根据两条腰相等构造方程，或者运用两点间的距离公式，并根据斜边和直角边的比值为2:1(或45°

应用举例

例如图3-3-4,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点,点C，B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H.

(1)求抛物线的解析式.

(2)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在以点C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形?若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【问题分析】

(1)利用待定系数法确定抛物线的解析式；

(2)分M,N,C三个点分别为直角顶点讨论.先画出大致图形，发现当M，N分别为直角顶点时各有两种情况，分别就每种情况构造“K”型全等模型，利用全等的性质确定点N的坐标.

进阶训练

1.如图3-3-5,一次函数y=kx+3

(1)求一次函数的解析式和m的值.

(2)将线段AB绕着点A旋转,点B落在x轴负半轴上的点C处.在第二象限是否存在点D，使△BCD是以BC为腰的等腰直角三角形?若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

2.如图3-3-6,抛物线y=?1

(1)求A,B,C三点坐标.

(2)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E,连接DE，请问是否存在点P，使△PDE为等腰直角三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

3.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C,顶点D的坐标为(1,-4).

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)如图3-3-7,M是直线BC上一个动点,过点M作MN⊥x轴交抛物线于点N，Q是直线AC上一个动点.当△QMN为等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标.

4.如图3-3-8，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-1,0),B(3,0).

(1)求抛物线的解析式.

(2)点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点,过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N，点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.

答案

|应用举例|

例解：(1)抛物线的解析式为y=?x2+4x.

(2)存在以点C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形.易得C(3,3),BC=2.分三种情况:

①以点M为直角顶点.

若点M在x轴上方,如图①,则CM=MN,∠CMN=90°,易得△CMB≌△MNH(AAS),

∴BC=MH=2,BM=HN=3-2=1.∴N(2,0);

若点M在x轴下方，如图②，构建如图所示的两个直角三角形(Rt△NEM和Rt△MDC),

易得Rt△NEM≌Rt△MDC,

∴EN=MD=2.∴EM=CD=5.

∵OH=1,∴ON=NH-OH=5-1=4.∴N(-4,0).

②以点N为直角顶点.

若点N在y轴左侧,