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专题20平面向量的数量积及向量的应用
1.平面向量的数量积
(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.
(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
2.向量的应用
(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
一、平面向量的数量积
1.平面向量数量积的概念
(1)数量积的概念
已知两个非零向量,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,即,其中θ是与的夹角.
【注】零向量与任一向量的数量积为0.
(2)投影的概念
设非零向量与的夹角是θ,则()叫做向量在方向上(在方向上)的投影.
如图(1)(2)(3)所示,分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形,其中,它的意义是,向量在向量方向上的投影长是向量的长度.
(3)数量积的几何意义
由向量投影的定义,我们可以得到的几何意义:数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积.
2.平面向量数量积的运算律
已知向量和实数,则
①交换律:;
②数乘结合律:;
③分配律:.
二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质
设非零向量,是与的夹角.
(1)数量积:.
(2)模:.
(3)夹角:.
(4)垂直与平行:;a∥b?a·b=±|a||b|.
【注】当与同向时,;
当与反向时,.
(5)性质:|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?.
三、平面向量的应用
1.向量在平面几何中常见的应用
已知.
(1)证明线段平行、点共线问题及相似问题,常用向量共线的条件:
(2)证明线段垂直问题,如证明四边形是正方形、矩形,判断两直线(或线段)是否垂直等,常用向量垂直的条件:
(其中为非零向量)
(3)求夹角问题,若向量与的夹角为,利用夹角公式:
(其中为非零向量)
(4)求线段的长度或说明线段相等,可以用向量的模:
,
或(其中两点的坐标分别为)
(5)对于有些平面几何问题,如载体是长方形、正方形、直角三角形等,常用向量的坐标法,建立平面直角坐标系,把向量用坐标表示出来,通过代数运算解决综合问题.
2.向量在物理中常见的应用
(1)向量与力、速度、加速度及位移
力、速度、加速度与位移的合成与分解,实质上就是向量的加减法运算.
(2)向量与功、动量
力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,实质是力和位移两个向量的数量积,即
为和的夹角).
考向一平面向量数量积的运算
平面向量数量积的类型及求法:
(1)平面向量数量积有两种计算公式:一是夹角公式;二是坐标公式.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
典例1若向量QUOTEm=(2k-1,k)m=(2k-1,k)与向量QUOTEn=(4,1)n=(4,1)共线,则QUOTEm?n=
A.QUOTE00 B.QUOTE44
C. D.
【答案】D
【解析】因为向量QUOTEm=(2k-1,k)m=(2k-1,k)与向量QUOTEn=(4,1)n=(4,1)
所以QUOTE2k-1=4k2k-1=4k,解得QUOTEk=-12k=-12.
即QUOTEm=(-2,-12)m=(-2,-12),QUOTE
所以QUOTEm?nm?n=.
选D.
典例2已知向量与的夹角为QUOTE450450,则__________.
【答案】QUOTE1+21+2
【解析】由向量与的夹角为QUOTE450450,
得.
1.在平行四边形ABCD中,AB∥CD,,则=
A. B.2
C.3 D.4
2.已知菱形的边长为2,,则
A.4 B.6
C. D.
考向二平面向量数量积的应用
平面向量数量积主要有两个应用:
(1)求夹角的大小:若a,b为非零向量,则由平面向量的数量积公式得(夹角公式),所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题.
(2)确定夹角的范围:数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.
典例3在平行四边形中,若则
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如图所示,
平行四边形中,,
,
,
,
因为,
所以
,
则,
所以.
故选C.
3.已知向量,且与的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是.
考向三平面向量的模及其应用
平面向量的模及其应用的类型与解题策略:
(1)求向量的模.解决此类问题应注意模的计算公式,或
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