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备战2025年高考理科数学考点一遍过考点20平面向量的数量积及向量的应用.docx

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专题20平面向量的数量积及向量的应用

1.平面向量的数量积

(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.

(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.

(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

2.向量的应用

(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.

(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.

一、平面向量的数量积

1.平面向量数量积的概念

(1)数量积的概念

已知两个非零向量,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,即,其中θ是与的夹角.

【注】零向量与任一向量的数量积为0.

(2)投影的概念

设非零向量与的夹角是θ,则()叫做向量在方向上(在方向上)的投影.

如图(1)(2)(3)所示,分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形,其中,它的意义是,向量在向量方向上的投影长是向量的长度.

(3)数量积的几何意义

由向量投影的定义,我们可以得到的几何意义:数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积.

2.平面向量数量积的运算律

已知向量和实数,则

①交换律:;

②数乘结合律:;

③分配律:.

二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质

设非零向量,是与的夹角.

(1)数量积:.

(2)模:.

(3)夹角:.

(4)垂直与平行:;a∥b?a·b=±|a||b|.

【注】当与同向时,;

当与反向时,.

(5)性质:|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?.

三、平面向量的应用

1.向量在平面几何中常见的应用

已知.

(1)证明线段平行、点共线问题及相似问题,常用向量共线的条件:

(2)证明线段垂直问题,如证明四边形是正方形、矩形,判断两直线(或线段)是否垂直等,常用向量垂直的条件:

(其中为非零向量)

(3)求夹角问题,若向量与的夹角为,利用夹角公式:

(其中为非零向量)

(4)求线段的长度或说明线段相等,可以用向量的模:

或(其中两点的坐标分别为)

(5)对于有些平面几何问题,如载体是长方形、正方形、直角三角形等,常用向量的坐标法,建立平面直角坐标系,把向量用坐标表示出来,通过代数运算解决综合问题.

2.向量在物理中常见的应用

(1)向量与力、速度、加速度及位移

力、速度、加速度与位移的合成与分解,实质上就是向量的加减法运算.

(2)向量与功、动量

力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,实质是力和位移两个向量的数量积,即

为和的夹角).

考向一平面向量数量积的运算

平面向量数量积的类型及求法:

(1)平面向量数量积有两种计算公式:一是夹角公式;二是坐标公式.

(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.

典例1若向量QUOTEm=(2k-1,k)m=(2k-1,k)与向量QUOTEn=(4,1)n=(4,1)共线,则QUOTEm?n=

A.QUOTE00 B.QUOTE44

C. D.

【答案】D

【解析】因为向量QUOTEm=(2k-1,k)m=(2k-1,k)与向量QUOTEn=(4,1)n=(4,1)

所以QUOTE2k-1=4k2k-1=4k,解得QUOTEk=-12k=-12.

即QUOTEm=(-2,-12)m=(-2,-12),QUOTE

所以QUOTEm?nm?n=.

选D.

典例2已知向量与的夹角为QUOTE450450,则__________.

【答案】QUOTE1+21+2

【解析】由向量与的夹角为QUOTE450450,

得.

1.在平行四边形ABCD中,AB∥CD,,则=

A. B.2

C.3 D.4

2.已知菱形的边长为2,,则

A.4 B.6

C. D.

考向二平面向量数量积的应用

平面向量数量积主要有两个应用:

(1)求夹角的大小:若a,b为非零向量,则由平面向量的数量积公式得(夹角公式),所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题.

(2)确定夹角的范围:数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.

典例3在平行四边形中,若则

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】如图所示,

平行四边形中,,

因为,

所以

则,

所以.

故选C.

3.已知向量,且与的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是.

考向三平面向量的模及其应用

平面向量的模及其应用的类型与解题策略:

(1)求向量的模.解决此类问题应注意模的计算公式,或

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