2025年中考数学压轴题拔高训练 专题四 二次函数的图象与直线的交点.docx

专题四二次函数的图象与直线的交点

1.抛物线与直线的交点坐标

(1)抛物线y=ax2+bx+ca≠0与直线y=m交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=m的解x?,x?说明：由于直线y=m平行于x轴或与x轴重合，故

(2)抛物线y=ax2+bx+ca≠0

若方程组y=ax2+bx+c,y=kx+d

2.抛物线y=ax2+bx+ca≠0

(1)方程ax2+bx+c=kx+m(即ax2+b?k

①b?k2?4a

②b?k2?4a

③b?k

(2)含参二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象与已知直线y=kx+m(k≠0)在一个范围内有交点一般转化为方程ax2+bx+c=kx+m

①仅常数项未知时，转化为动直线y=c与定抛物线在某范围内的交点问题(例2变式1)；

②仅二次项系数未知时，转化为动抛物线y=ax2与定线段的交点问题(例2变式2)；

③仅一次项系数未知时，转化为动直线y=bx与定抛物线在某范围内的交点问题(例2变式3).

应用举例

1.二次函数图象与直线的交点个数

例1在平面直角坐标系中,已知a≠b,设函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点,函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有N个交点，则()

变式设函数y?=x+ax+b的图象与x轴有m个交点，函数y?=(ax+1)(bx+1)白的图象与x轴有n个交点，则所有可能的数对(m,n)是

2.二次函数图象与直线或线段的交点

例2已知抛物线y=ax2?2x+1a≠0

(1)求a的值;

(2)设直线y=m(m0)与抛物线y=ax2?2x+1交于点A,B,与抛物线y=3x?1

变式1抛物线y=?x2+3x+c0≤x≤3

A.2c≤5

B.2c≤5或c=1

C.2≤c≤5

D.2≤c≤5或c=1

变式2在平面直角坐标系中,已知M(--1,--2),N(2,1),若抛物线y=ax2?2x+1a≠0

A.1≤a9

B.1≤a

C.a≤1或a

D.a≤-5或a≥1

变式3已知点A,B的坐标分别为(-2,0),(2,0),若抛物线y=x2+bx+1与线段AB只有一个交点，则b的取值范围为

进阶训练

1.在平面直角坐标系中，点A和点B的坐标分别为(0,2)和(4,2),若抛物线y=ax2?2ax+3(a0)与线段AB有且只有一个交点，则a的取值范围是.

2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(--3,0)与(1,0)两点,关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m0)有两个根,其中一个根是3.若关于x的方程ax2+bx+c+n=0(0nm)有两个整数根，则这两个整数根是()

A.-2或0B.-4或2

C.-5或3D.-6或4

3.已知A,B两点的坐标分别为(3,-4),(0,-2),线段AB上有一动点M(m,n),过点M作x轴的平行线交抛物线y=ax?12+2于P(x?,y?),Q(x?,y?)两点.若

A.?4≤a?32

C.?32≤a0

4.将二次函数y=?x2+2x+3的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图1-4-1所示.当直线y=x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为()

A.?214或-3

C.214或-3D.13

5.如图1-4-2,已知抛物线y?=?x2+4x和直线y?=2x+b.我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y?和y?.若y?≠y?,取y?和y?中较大者为M;若.y?=y?,记M=y?=y?..①当x=2时,M的最大值为4;②当b=-3时,使My?的x的取值范围是-1x3;③当b=-5时,使M=3的x的值是x?=1,x?=3;④当b≥1时,M随x的增大而增大.上述结论正确的是(填写所有正确结论的序号).

6.如图1-4-3,抛物线y=x2+mx与直线y=-x+b交于点A(2,0)和点B.

(1)求m和b的值;

(2)求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx?x+b的解集；

(3)点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围.

7.已知抛物线y=x2?

(1)当m=0时，请判断点(2，4)是否在该抛物线上；

(2)该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶