2025年中考数学压轴题拔高训练专题三 二次函数的对称性和增减性.docx

专题三二次函数的对称性和增减性

1.二次函数的对称性

设抛物线y=ax2+bx+c经过P?x?y?,P?x?y?,则

2.二次函数的增减性

由二次函数的增减性可得以下结论：

①当a0时，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小，离对称轴越远，函数值越大；

②当a0时，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大，离对称轴越远，函数值越小.

3.二次函数的最值(对称性和增减性的应用)

(1)二次函数y=ax2+bx+ca≠0

(2)二次函数y=ax2+bx+ca≠0

记抛物线的对称轴为直线x=h，则函数y的最大(小)值一定在x=m，x=n或x=h处取得.以a0为例(a0时同理求最值):

①如图1-3-1①,当hn或hm时,y的最值分别在x=m和x=n处取得;

②如图②,当m≤h≤n时,y在x=h处取得最小值,最大值在x=m或x=n处取得.在x=m还是在x=n处取得最大值，由m，n距离对称轴的远近决定.

应用举例

1.二次函数的对称性问题

例1已知自变量为x的二次函数y=ax+mx+3m的图象经过(t,3),(t-4,3)两点,若方程

变式1已知抛物线y=?ax2?2ax+c(a,c是常数)经过不重合的两点A(2,1),B(m,1),则m=()

A.-4B.-2

C.0D.1

变式2若实数a,b,c满足a≥b≥c,4a+2b+c=0且a≠0,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(x?,0),B(x?,0),点A在点B的左侧，则线段AB的最大值是()

A.2B.3

C.4D.5

变式3已知当x=2m+n+2和x=m+2n时,多项式x2+4x+6的值相等,且m--n+2≠0,则当x=3(m+n+1)时,求多项式x2+4x+6的值.

2.二次函数的增减性

例2在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)和点(3，n)在抛物线y=ax2+bxa

(1)若m=3,n=15,，求该抛物线的对称轴；

(2)已知点?1y?,2y?

变式已知二次函数y=ax2+bx+3.

(1)若此函数的图象与x轴只有一个交点，试写出a与b满足的关系式；

(2)若b=2a,点P??3y?,P??1

(3)若b=a+3,当x--1时,函数y随x的增大而增大,求a的取值范围.

3.二次函数的最值问题

例3已知二次函数y=?x2+6x?5.

(1)求二次函数图象的顶点坐标.

(2)当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少?

(3)当t≤x≤t+3时,函数的最大值为m,最小值为n.若m-n=3,求t的值.

变式1已知二次函数y=mx2?2mx+3,其中m≠0.

(1)若二次函数图象经过点(-1，6)，求二次函数解析式；

(2)若该抛物线开口向上，当--1≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为6，求点M和点N的坐标；

(3)在二次函数图象上任取两点(x?,y?),(x?,y?),当a≤x?x?≤a+2时,总有y?y?,求a的取值范围.

进阶训练

若二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图1-3-2所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的另一

个解为()

A.x=-2B.x=-1

C.x=0D.x=1

2.已知点A(1,y?),B(2,y?)在抛物线y=?x+1

A.2y?y?

C.y?y?2D.y?y?2

3.二次函数y=ax2?2ax+ca0)的图象过A(-3,y?),B(-1,y?),C(2,y?),D(4,y

A.若y?y?0,则y?y?0

B.若y?y?0,则y?y?0

C.若y?y?0,则y?y?0

D.若y?y?0,则y?y?0

4.设P(x,y?),Q(x,y?)分别是函数C?,C?图象上的点，当a≤x≤b时，总有?1≤y??y?≤1恒成立,则称函数C?,C?在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”.则下列结论：

①函数y=x-5,y=3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；

②函数y=x?5,y=x2?4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；

③0≤x≤1是函数y=x2?1,y=2x2?x的“逼近区间”；

④2≤x≤3是函数y=x?5,y=x2?4x的“逼近区间”.

其中，正确的有()

A.②③B.①④

C.