2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块05-函数的图象与函数的零点.docx

模块五：函数的图象与函数的零点

1、函数的图象与变换

(1)五点作图

函数化简→定义域→讨论性质(奇偶性、单调性)→算零点、最值点→光滑曲线作图.

(2)函数图象变换

(1)平移变换:自变量“左加右减”:y=fx.左(右)平移a

左右平移

因变量“上加下减”:y=fx上(下)平移b

上下平移

(2)伸缩变换:y

(3)对称变换:“对称谁,谁不变,对称原点都要变”

y

y

(4)翻折变换:

y=fx→y=fx保留

对称翻折

y=fx→y=fx保留

(3)一次函数的图象和性质

解析式

f

参数

k代表直线的斜率,含义是直线的倾斜程度.k=tanα=y1?y

k

k

k

k

图像

增减性

单调递增

单调递减

(4)一次函数的翻折变换

以fx=2x+1

(1)fx图象是将fx

(2)函数fx图象是将函数fx

(5)反比例函数的图象和性质

解析式f

图像增减性

k

k

(6)反比例函数的平移变换

y=kxk0图像向右平移a个单位,向上平移

(7)一次分式函数的图象

形如fx=cx+da

(1)在函数的分子上配出分母的形式:f

(2)列项:fx=

(3)令k=c?cba

(4)由图可得fx=

fx定义域?f

fx

(8)二次函数的翻折变换(按要求画出相关图象)

以y=2x2+2

(1)函数y=2x2+2x?1

再将x轴下方的图象作关于x轴对称得到.

(2)函数y=2x2+2x?1对x

的图象保持不变,y轴左侧的图象去掉,再将y轴右侧的图象作关于y轴对称得到.

(9)函数y=x

解析式图像

f

a

a

a

a

?b

渐近线y=x或

定义域{

值域

单调增区间

无

单调减区间

无

x0时,fx=ax+bx

2、函数的零点与方程的根

(1)函数的零点

对于一般函数y=fx,我们把使fx=0的实数x

(2)零点的意义

函数y=fx的零点就是方程fx=0的实数解,也就是函数y

函数y=fx的图象与

方程fx=0有实数解?函数

(3)零点的分类

1)变号零点:零点附近两侧的函数值异号,如图a.

图a图b

2)不变号零点:零点附近两侧的函数值同号,如图b.

(4)零点存在性定理

1)定理

函数零点存在定理如果函数y=fx在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有fafb0,那么,函数y=fx在区间a,b

2)对零点存在性定理的理解

●名帅点睛

1)定理中函数y=fx在区间

1.若函数fx在区间[a,b]上的图象是连续不断的,且两端点处的函数值fa,fb异号,则函数y=fx的图象至少与

2.函数零点存在定理只能判断出零点是否存在,不能判断出零点的个数.

fx=1x

0,但fx=1x在

点,也可能有其他的变号或不变号零点,即定理只说明零点存在,但零点不一定唯一.

3)并不是所有的零点都可以用该定理来确定,若

不满足该定理的条件,并不能说明函数在(a,b)内没有零点.如图,fa?fb0,但fx在

4)若fx在[a,b]上的图象是连续不断的,且是单调函数,fa?fb0,则fx在a,b上有唯一的零点.数

2)符合该定理的条件能确定fx在a,

3)用二分法求方程的近似解

用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的

-“精确度”与“精确到”

精确度:精确度是指近似数的误差不超过某个数ε,这个数就是精确度.比如:设x是精确值,x′是其一个近似值,如果x′?xε,那么x′是

精确到:按四舍五入的原则得到精确值x的精确到某一位的近似值x′,比如:π=3.1415926?,若取x′=3.14

变号零点.步骤如下:

第一步:确定零点x0的初始区间[a,b]

第二步:求区间a,b的中点c

第三步:计算fc

1)若fc=0(此时x0=c

2)若fc?fa0(此时x

3)若fc?fb0(此时x

第四步:判断是否达到精确度ε:若a?b

1.给定精确度ε,用二分法求函数fx零点x0的近似值的一般似值a(或b

由函数零点与相应方程解的关系,我们可以用二分法求方程的近似解.

3、几种常见函数的模型

常见的8种函数模型

1.一次函数模型:fx=

2.反比例函数模型:fx=

3.二次函数模型:f