2025年九年级中考数学复习新定义试题集—能力提高（4）.docx

2025年九年级中考数学复习新定义试题集—能力提高（4）

1.阅读材料：我们定义一个关于有理数a，b的新运算，规定：a⊕b＝4a﹣3b．例如：5⊕6＝4×5﹣3×6＝2．完成下列各小题．

（1）若a⊕b＝1，a⊕2b＝﹣5，分别求出a和b的值；

（2）若m满足m⊕2≤0，且3m⊕（﹣8）＞0，求m的取值范围．

2.请你根据右框内所给的内容，完成下列各小题．

（1）若m⊕n＝1，m⊕2n＝﹣2，分别求出m和n的值；（2）若m满足m⊕2≤0，且3m⊕（﹣8）＞0，求m的取值范围．

我们定义一个关于有理数a，b的新运算，规定：

a⊕b＝4a﹣3b．

例如：5⊕6＝4×5﹣3×6＝2．

3.平面直角坐标系xOy（如图）中，二次函数f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1（其中a是常数，且a≠0）的图象是开口向上的抛物线．

（1）求该抛物线的顶点P的坐标；

（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1与y轴的交点记为A，如果线段OA上的“整点”的个数小于4，试求a的取值范围；

（3）如果f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4）这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意一个函数解析式；结合函数图象，求a的取值范围．

4.在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（12，12），（?2

（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；

（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（52，5

①求a，c的值；

②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+14（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数

5.在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．如果，则的值是（）．

A． B．1 C．0 D．2

6.【阅读理解】

定义：在平面直角坐标系xOy中，对于一个动点P（x，y），若x，y都可以用同一个字母表示，那么点P的运动路径是确定的．若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函数表达式的过程叫做将点“去隐”．

例如，将点M（m+1，﹣m+1）（m为任意实数）“去隐”的方法如下：

设x＝m+1①，y＝﹣m+1②

由①得m＝x﹣1③

将③代入②得y＝﹣（x﹣1）+1，整理得y＝﹣x+2

则直线y＝﹣x+2是点M的运动路径．

【迁移应用】

在平面直角坐标系xOy中，已知动点Q（﹣a，﹣a2﹣a+3）（a为任意实数）的运动路径是抛物线．

请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；

（2）记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点为点C，现将W进行平移，平移后的抛物线W始终过点A，点C的对应点为C．

ⅰ）试确定点C运动路径所对应的函数表达式；

ⅱ）在直线x＝﹣2的左侧，是否存在点C，使△ACC为等腰三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

7.定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足为正数），则称方程与方程是“差解方程”．

（1）请通过计算判断关于的方程与关于的方程是不是“2差解方程”；

（2）若关于的方程与关于的方程是“差解方程”，求的值；

（3）若关于的方程，与关于的方程是“差解方程”，试用含的式子表示．

规定，则的值是_________．

9.在平面直角坐标系中，已知点A(x，y)，点B(x﹣my，mx﹣y)（其中m为常数，且m≠0），则称B是点A的“m族衍生点”．例如：点A(1，2)的“3族衍生点”B的坐标为(1﹣3×2，3×1﹣2)，即B(﹣5，1)．

（1）点（2，0）的“2族衍生点”的坐标为；

（2）若点A的“3族衍生点”B的坐标是(﹣1，5)，则点A的坐标为；

（3）若点A(x，0)（其中x≠0），点A的“m族衍生点“为点B，且AB＝OA，求m的值；

（4）若点A(x，y)的“m族衍生点”与“﹣m族衍生点”都关于y轴对称，则点A的位置在．

10.如图1，菱形ABCD中，，动点P以每秒1个单位的速度自点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒2个单位的速度自点B出发沿折线运动到点D．图2是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随时间t变化关系图象，则a的值是（????）

A．2 B．2.5 C．3 D．

11.在平面直角坐标系中，将直线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后的新直线与x轴的交点为，则m的值为___________．

12.定义：在△ABC中，若有两条中线互相垂直，则称△ABC为中垂三角形，并且把AB2+BC2+CA2叫做△ABC的方周长，记作L，即L＝AB2+BC2+CA2．

（1）如图1，已知△ABC是中垂三角形，BD，AE分别是AC，BC边上的中线，若AC＝B