高二数学上学期数学归纳法与数列综合(教师版).pdf

数学归纳法与数列综合

学习目标

1．掌握数学归纳法的概念及求解步骤，能熟练运用数学归纳法解决数学问题．

2．掌握奇偶项分段数列的概念及其求和的方法并会运用．

3．掌握含绝对值的等差数列的概念及其求和的方法步骤并会运用．

【备注】

1．本节重点是掌握数学归纳法的求解步骤并能够应用，奇偶分段数列的求解方法，含绝对

值的等差数列的求解方法；难点是用数学归纳法证明不等式或恒等式，根据数列的递推公

式猜测通项公式并能够用数学归纳法进行证明，奇偶分段数列的求和问题，含绝对值的等

差数列的求和问题．

2．关联知识：等差数列、等比数列、数列求通项的方法、数列求和的方法．

一、数学归纳法

1.定义与步骤

数学归纳法定义

一般地，证明一个正整数有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当时命题成立；

（2）（归纳递推）以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题从开始的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法.

对数学归纳法两个步骤的认识

（1）数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数，这个数就是要证明的命题对象的最小自

然数，这个自然数并不一定都是“”；

（2）数学归纳法的实质在于递推，所以从“”到“”的过程中，必须把归纳假设“”作为条件来导

出“”时的命题，在推导过程中，归纳假设至少要用一次.

经典例题

1.用数学归纳法证明

，

则从到时，左边所要添加的项是（）．

1

A.B.C.D.

【备注】

本题考查从到增加多少项，可以将两个式子写出来进行比较；这里需要注意

首先由于一共有项，但是左侧最后是，再根据正负号可判断通项为,其次代

入时与求函数到一样,不要代错了

【答案】D

【解析】当时，等式的左边为：

，

当时，等式的左边为：

，

故从“到”，左边所要添加的项是．

故选．

【标注】【知识点】数学归纳法

2.用数学归纳法证明：时，第二步证明由“到”时，左

端增加的项数是（）．

A.B.C.D.

【备注】

本题考查从到增加多少项，由于分母变化，将两项最后一项的分母进行作差

求解即可

【答案】B

【解析】当时，，

当时，，

∴增加了项．

故选．

【标注】【素养】数学运算

【知识点】数学归纳法

2

3.在数列中，且．

（1）求出，，．

（2）归纳出数列的通项公式，并用数学归纳法证明归纳出的结论．

【备注】

先通过数