平面几何辅助线添加技法总结与例题详解.doc

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第一讲注意添加平行线证题

在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.添加平行线证题,一般有如下四种情况.

1为了改变角的位置

大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.

例1设P、Q为线段BC上两点,且BP＝CQ,

A为BC外一动点(如图1).当点A运动到使

∠BAP＝∠CAQ时,△ABC是什么三角形？试

证明你的结论.

答：当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时,△ABC为等腰三角形.

证明：如图1,分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D.连结DA.

在△DBP＝∠AQC中,显然∠DBP＝∠AQC,∠DPB＝∠C.

由BP＝CQ,可知△DBP≌△AQC.

有DP＝AC,∠BDP＝∠QAC.

于是,DA∥BP,∠BAP＝∠BDP.

则A、D、B、P四点共圆,且四边形ADBP为等腰梯形.故AB＝DP.

所以AB＝AC.

这里,通过作平行线,将∠QAC“平推”到∠BDP的位置.由于A、D、B、P四点共圆,使证明很顺畅.

例2如图2,四边形ABCD为平行四边形,

∠BAF＝∠BCE.求证：∠EBA＝∠ADE.

证明：如图2,分别过点A、B作ED、EC

的平行线,得交点P,连PE.

由ABCD,易知△PBA≌△ECD.有

PA＝ED,PB＝EC.

显然,四边形PBCE、PADE均为平行四边形.有

∠BCE＝∠BPE,∠APE＝∠ADE.

由∠BAF＝∠BCE,可知∠BAF＝∠BPE.

有P、B、A、E四点共圆.

于是,∠EBA＝∠APE.所以,∠EBA＝∠ADE.

这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P、B、A、E四点共圆,紧密联系起来.∠APE成为∠EBA与∠ADE相等的媒介,证法很巧妙.

2为了改变线段的位置

利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.

例3在△ABC中,BD、CE为角平分线,P为ED上任意一点.过P分别作AC、AB、BC的垂线,M、N、Q为垂足.求证：

PM＋PN＝PQ.

证明：如图3,过点P作AB的平行线交BD

于F,过点F作BC的平行线分别交PQ、AC

于K、G,连PG.

由BD平行∠ABC,可知点F到AB、BC

两边距离相等.有KQ＝PN.

显然,＝＝,可知PG∥EC.

由CE平分∠BCA,知GP平分∠FGA.有PK＝PM.于是,

PM＋PN＝PK＋KQ＝PQ.

这里,通过添加平行线,将PQ“掐开”成两段,证得PM＝PK,就有PM＋PN＝PQ.证法非常简捷.

3为了线段比的转化

由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的.

例4设M1、M2是△ABC的BC边上的点,且BM1＝CM2.任作一直线分别交AB、AC、AM1、AM2于P、Q、N1、N2.试证：

＋＝＋.

证明：如图4,若PQ∥BC,易证结论成立.

若PQ与BC不平行,设PQ交直线BC

于D.过点A作PQ的平行线交直线BC于

E.

由BM1＝CM2,可知BE＋CE＝M1E＋

M2E,易知

＝,＝,

＝,＝.

则＋＝＝＝＋.

所以,＋＝＋.

这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE,于是问题迎刃而解.

例5AD是△ABC的高线,K为AD上一点,BK交AC于E,CK交AB于F.求证：∠FDA＝∠EDA.

证明：如图5,过点A作BC的平行线,分

别交直线DE、DF、BE、CF于Q、P、

N、M.

显然,＝＝.

有BD·AM＝DC·AN.(1)

2构造相关的辅助圆解题

有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题