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平面解析几何中的中心对称和轴对称

龙碧霞

一、中心对称

定义：把一个图形绕某个点旋转180后能与另一个图形重合。这两个图形关于这个点对称。这个点叫着对称中心。

性质：关于某个点成中心对称的两个图形。对称点的连线都经过对称中心。且被对称中心平分。

一般有三种情况。

点关于点对称。

点P（x,y）关于点M(a,b)对称的点Q的坐标是Q(2a-x,2b-y)。（由中点坐标公式很容易得到）如点（１．－４）关于（－２，０）对称的点是（－５．４），

直线关于点对称：

直线l:Ax+By+C=0关于点P（a,b）对称的直线为l的方程是：

A（2a-x）+B(2b-y)+C=0.即Ax+By-2aA-2bB-C=0。

推导过程：

方法一：在直线l上任意取一点,最好是特殊点。如取M(0,-)则点M关于点P对称的点N的坐标是N（2a,2b+）.点Nl根据中心对称的定义。l//l.可设直线l的方程为Ax+By+D=0.将点N坐标代入得2aA+B(2b+）+D=0.于是D=-2aA-2Bb-C

所以l的方程是：Ax+By-2aA-2bB-C=0

方法二：在直线l上任意取两点并求出它们关于点P（a,b）对称的点．由两点式易得直线为l的方程是：Ax+By-2aA-2bB-C=0．

方法三：设直线为l上任意一点为Ｍ（x,y），其关于点P（a,b）对称的点M(x,y)在直线为l上．求出点M的坐标后代入直线l:Ax+By+C=0即得l的方程是：Ax+By-2aA-2bB-C=0

例如：求直线l；3x+y-2=0关于点A（-4，4）对称的直线l方程。

解法一：关于点A对称的两直线l与l互相平行。于是可设l的方程为：3x+y+C=0

在直线l上任取一点M（0，2），其关于点A对称的点N的坐标为

N（-8，6），因为N点在直线l上。所以3×（-8）+6+C=0，

所以C=18，

故直线l的方程为3x+y+18=0.

解法二：在直线l；3x+y-2=0上取两点M（0，2），N（1，-1）易得它们关于点A（-4。4）对称的点分别为：M（-8。6），

N（-9，9）。由两点式得直线l的方程为：3x+y+18=0.

解法三：设直线为l上任意一点为Ｍ（x,y）其关于点A（-4，4）对称的点M(-8-x,8-y)在直线为l上．即3×（-8-x）+（8-y）-2=0

整理得直线l的方程为3x+y+18=0.

特别地：直线Ax+By+C=0关于原点对称的直线方程是：Ax+By-C=0（在上面的问题中令a=0.且b=0即得）

如：直线3x+y-2=0关于原点对称的直线方程是3x+y+2=0

（3）曲线关于点对称。

曲线f(x,y)=0关于点P（a,b）对称的曲线方程是f（2a-x,2b-y）=0

推导过程：设所求曲线上任意一点M(x,y),其关于点P（a,b）对称的点M(x,y)在曲线f(x,y)=0上．用点关于点对称的方法求出点M的坐标后代入曲线f(x,y)=0中即得所求曲线方程．

特别地曲线f(x,y)=0关于原点（０，０）对称的曲线方程是

f（-x,-y）=0

二、轴对称。

定义:把一个图形沿着某条直线对折以后能与另一个图形重合。这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。

性质：关于某条直线对称的两个图形，对称线段平行且相等；对称线段或其延长线相交，交点一定在对称轴上；对称点的连线都被对称轴垂直平分；等等。

一般也有三种情况：

（1）、点关于直线对称。

点P（a,b）关于直线l:Ax+By+C=0的对称点Q的坐标为（x,y）

根据轴对称的性质。点P与点Q关于直线l对称，则直线l垂直平分线段PQ。即线段PQ的斜率与直线l的斜率-之积为-1。且线段PQ的中点（，）在直线l上。

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平面解析几何中的中心对称和轴对称

龙碧霞