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运筹学第四版清华大学出版社2024pdf
目录
contents
绪论
线性规划
整数规划
动态规划
图与网络分析
存储论
排队论
01
绪论
运筹学起源于20世纪30年代，最初是应用在军事领域，旨在研究和解决军事策略和资源分配问题。
随着计算机技术的飞速发展和数学理论的不断完善，运筹学逐渐从军事领域扩展到经济、管理、工程等各个领域，并形成了完整的学科体系。
发展
起源
经济领域
运筹学在经济管理、市场预测、投资决策等方面有广泛应用，如生产计划、库存管理、物流运输等。
社会领域
运筹学在社会服务、城市规划、医疗卫生等方面也有应用，如交通规划、教育资源分配等。
工程领域
运筹学在工程设计、施工计划、质量控制等方面提供优化方法和技术支持。
军事领域
运筹学在军事战略制定、作战计划优化、后勤资源分配等方面发挥重要作用。
02
线性规划
目标函数
线性规划问题中需要优化的目标，通常表示为决策变量的线性函数。
约束条件
限制决策变量取值的条件，通常表示为决策变量的线性不等式或等式。
决策变量
线性规划问题中需要确定的未知量，通常表示为向量形式。
可行域
满足所有约束条件的决策变量取值范围所构成的区域。
最优解
使目标函数达到最优值的决策变量取值点。
目标函数等值线
目标函数取不同值时对应的决策变量取值点所连成的曲线。
满足所有约束条件且基变量取非负值的决策变量取值点。
初始基可行解
通过不断更换基变量和非基变量，使目标函数值不断改善的过程。
迭代过程
判断当前基可行解是否为最优解的方法，通常通过计算检验数来实现。
最优性检验
03
整数规划
整数规划问题的分类
根据决策变量的取值范围，可分为纯整数规划、混合整数规划和0-1整数规划。
整数规划问题的数学模型
整数规划问题的数学模型与线性规划问题的数学模型类似，但需要增加整数约束条件。
整数规划问题的定义
整数规划是数学规划的一个分支，要求一部分或全部决策变量取整数值的数学规划问题。
分枝定界法的基本思想
将原问题分解为若干个子问题，每个子问题对应原问题的一个子集，通过求解子问题的最优解来逼近原问题的最优解。
分枝定界法的步骤
首先确定一个初始可行解，然后不断对问题进行分枝，产生新的子问题，并求解子问题的最优解。在分枝过程中，通过定界技术剪除不可能得到最优解的分支，以减少计算量。
分枝定界法的优缺点
分枝定界法可以求解各种类型的整数规划问题，但计算量较大，适用于中小规模问题。对于大规模问题，需要采用其他方法。
割平面法的基本思想
通过添加新的约束条件（割平面）来缩小可行域的范围，从而逐步逼近最优解。
割平面法的步骤
首先求解原问题的线性规划松弛问题，得到一个基本可行解。然后检查该解是否满足整数约束条件，如果不满足，则添加一个新的割平面约束条件，重新求解线性规划松弛问题。重复上述过程，直到找到最优解或确定问题无解。
割平面法的优缺点
割平面法可以求解较大规模的整数规划问题，但计算量较大，且对初始可行解的要求较高。在实际应用中，可以结合其他方法使用。
在金融领域，投资组合优化是一个重要的整数规划问题。通过合理分配投资资金和调整投资组合结构，可以实现风险和收益的平衡优化，提高投资回报率。
投资组合优化问题
在制造业中，生产计划问题是一个典型的整数规划问题。通过合理安排生产计划和资源分配，可以最小化生产成本和库存成本，提高企业的经济效益。
生产计划问题
在物流配送领域，如何合理安排车辆路径和配送计划是一个重要的整数规划问题。通过优化配送路线和车辆调度方案，可以降低运输成本和配送时间，提高客户满意度。
物流配送问题
04
动态规划
划分阶段
按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。注意这若干个阶段一定要是有序的或者是可排序的，否则问题就无法求解。
将问题发展到各个阶段时所处于的各种客观情况用不同的状态表示出来。当然，状态的选择要满足无后效性。
因为决策和状态转移有着天然的联系，状态转移就是根据上一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。所以如果确定了决策，状态转移方程也就可写出。
给出的状态转移方程是一个递推式，需要一个递推的终止条件或边界条件。
确定状态和状态变量
确定决策并写出状态转移方程
寻求边界条件
排序问题
如任务调度、排序算法的优化等，通过动态规划可以求解如何对一组元素进行排序或调度以最小化时间或空间复杂度的问题。
资源分配问题
如背包问题、装载问题等，通过动态规划可以求解在给定限制条件下如何最大化或最小化某种指标的问题。
最短路径问题
如旅行商问题、图的最短路径问题等，通过动态规划可以求解在图中从一点到另一点的最短路径或最小费用路径的问题。
生产计划问题
如生产计划与库存控制、设备更新问题等，通过动态规划可以求解在一定时间内如何安排生产或更新设备以最小化成本或最大化收益的问题。
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