高三数学上学期取值范围的四种常用方法-讲义（学生版）.pdf

取值范围的四种常用方法

在圆锥曲线的取值范围类问题中，我们得到了讨论对象的最终表达式后，不可避免地要进行函数值

域的研究.在这些最终表达式里面，分式型的函数是最令人感到头疼的.

求解分式型函数的值域，关键是利用换元等手段将其转成我们常见的函数形式.

一、分离常数

经典例题

1.求函数的值域.

题目分析

方法一：用【分离常数】求的值域

【观察特征+解题动作】

观察特征解题动作

尝试分离常数得

①分子和分母次数

分离常数后，分式部分的分子

②只需研究分母值域即可

为

【一气呵成】

巩固练习

2.已知椭圆，若、是椭圆上关于轴对称的任意两点，设，连接

交椭圆于另一点.

（1）求证：直线过定点，并求出点的坐标．

（2）过点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围．

3.

1

的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作

的平行线交于点．

（1）证明为定值，并写出点的轨迹方程；

（2）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两

点，求四边形面积的取值范围．

二、换元法-双勾型

经典例题

4.求函数的值域.

题目分析

方法二：用【换元法】，结合【双勾函数】求的值域

【观察特征+解题动作】

观察特征解题动作

换元令，则

①比次数更高

②新元形式为确定新元范围

同除分子，出现双勾形式

③分子只有且不为

【一气呵成】

在上.

巩固练习

5.已知椭圆，过点作倾斜角互补的两条不同直线，，设与椭圆交于、

两点，与椭圆交于，两点．

（1）若为线段的中点，求直线的方程．

（2）记，求的取值范围．

2

6.在平面直角坐标系中，已知定