高三数学下学期导数的应用之参变分离-讲义（教师版）.pdf

导数的应用之参变分离

一、课堂目标

1、掌握用参变分离解决不等式恒成立问题的方法。

2、理解导数在参变分离法中的作用。

【备注】

参变分离是解决不等式恒成立问题的常用方法，也是高考的常考难点之一，经常出现在导

数题的压轴问，这部分内容对基础薄弱的学生不做特殊要求，但对于高分段的学生，是必

掌握的重点。

二、直击高考

知识模块知识内容全国卷常见题型

导数在参变分离中的应

导数2020年21题解答题压轴题

用

三、知识讲解

1.参变分离

知识回顾

1

方法提升

1.若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）．

A.B.

C.D.

【备注】

对于方法类知识的讲解，绝对不要离开题目空讲，在给学生解释参变分离的逻辑和方法的

时候，用这道题给学生举例。

【答案】A

【解析】∵函数在，

∴，

∵函数在上是增函数，

∴在上恒成立，

∴在上恒成立，

设，则，

由，得，

∴在上是增函数，

∴，

∴实数的取值范围是．

故选．

【标注】【知识点】已知单调性求参数的取值范围

一、什么是参变分离

在不等式中含有两个未知量时，一个视为变量，另一个视为参数，利用不等式的等价变形让两个字母分

居不等号的两侧，构造不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。然后可利用其中一个变量的范围

求出另一变量的范围。一般情况下，范围已知的字母视为变量，另一个字母视为参数。

2

【备注】

在这道范例题目中，存在一个隐藏的不等式，,存在两个未知量a和x，已知x的取

值范围，所以x为变量，a为参数。用x的范围求解a的范围。

二、参变分离步骤总结

1、确立不等式。

2、确定参数和变量。

3、不等式恒等变形分离参变量。

【备注】

要让学生知道，不等式不一定是题目直接写明白的，有时需要自己判断，这道题目中的不

等式隐藏在了单调性中。同时有些题目变量取值范围也是隐藏条件，注意提醒学生。

三、导数在参变分离中的应用

当我们对不等式进行参变分离后，最终目的是通过变量的取值范围得到参数的取值范围。例如我们参变

分离得到g(a)f(x)，若f(x)存在最小值f，则必有g(a)f恒成立，进而可以求解出a的取值范围。在这个过

程中，我们注意到，在进行参变分离后，我们的重点是求解f(x)的最值，利用导数求解最值，是最常用

的方法之一。这便是导数在参变分离中的应用。

【备注】

我们把原式通过不等式恒等变形转换成了,我们只需要确定不等式右边的最小值，

就可以确定a的取值范围，这里要提示学生，对于不同的函数，求最值的方法是多样的，因

此导数只是其中一种比较通用的方法，并不是唯一方法。

高考链接

2.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）．