平面投影二平面投影二郭启臣68课件讲解.pptx

黑龙江建筑职业技术学院平面投影（二）平面投影（二）主讲：郭启臣

平面上的点和直线直线在平面上必须具备下列两条件之一：（1）直线通过平面上的两点。如图所示，在平面P上的两条直线AB和BC上各取一点D和E，则过该两点的直线必在P面上。

（2）直线通过平面上的一点，且平行于该平面上的一直线。如图所示，过P面上的C点，作CF//AB，AB是平面P内的一条直线，则直线CF必在P面上。

如图所示，要在△ABC上任作一条直线MN，则可在此平面上的两条直线AB和CD上各取点M（m，m′，m″）和N（n，n′，n″），连接M和N的同面投影，则直线MN就是△ABC上的一条直线。

平面上的投影面平行线VZXAHCOBWYD正平线水平线PXPVPZPWPYPHabc′d′平面上平行于投影面的直线称为平面上的投影面平行线。平面上的投影面平行线有三种：平行于H面的直线称为平面上的水平线；平行于V面的直线称为平面上的正平线；平行于W面的直线称为平面上的侧平线。

平面上的最大坡度线平面上对投影面倾角为最大的直线称为平面上对投影面的最大坡度线，它必垂直于该平面上的同面平行线及迹线。

最大坡度线有三种：垂直于水平线的称为对H面的最大坡度线；垂直于正平线的称为对V面的最大坡度线；垂直于侧平线的称为对W面的最大坡度线。

ABCDEPGHPH如图所示的△ABC，扩展成平面P后，它与H面的交线为PH，在△ABC上作水平线BG，则PH∥BG。过A点作AD⊥PH，则AD对H面的倾角α为最大，证明如下：

（2）在直角△ADa中，sinα=Aa/AD；在直角△AEa中，sinα1=Aa/AE。又因为△ADE为直角三角形，AD＜AE，所以α＞α1。（1）过A点任作一直线AE，它对H面的倾角为α1；ABCDEPGHPH

所以，垂直于PH（或垂直于水平线BG）的直线AD对H面的倾角为最大，因此称其为“最大坡度线”。ABCDEPGHPH

从物理意义上讲，在坡面上，小球或雨滴必沿对H面的最大坡度线方向滚落。同理，平面上对V、W面的最大坡度线也分别垂直于平面上的正平线和侧平线。

由于AD⊥PH，aD⊥PH（直角投影），则∠ADa=α，它是P、H面所成的二面角，所以平面P对H面的倾角就是最大坡度线AD对H面的倾角。ABCDEPGHPH

平面内对H面的最大坡度线其水平投影垂直于面内水平线的水平投影，其倾角α代表了平面对H面的倾角；平面内对V面的最大坡度线其正面投影垂直于面内正平线的正平投影，其倾角β代表了平面对V面的倾角；平面内对W面的最大坡度线其侧面投影垂直于面内侧平线的侧平投影，其倾角γ代表了平面对W面的倾角。综上所述，最大坡度线的投影特性是：

平面上取点如果点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。因此在平面上取点，必须先在平面上取辅助线，再在辅助线上取点。在平面上可作出无数条线，一般选取作图方便的辅助线为宜。

已知△ABC的两面投影，及其上一点K的H面投影k，求K点的V面投影k′，如图所示。点K在△ABC内，它必在该平面内的一条直线上。k′、k应分别位于该直线的同面投影上。所以，若要求点K的投影，则必先在△ABC内过点K的已知投影作辅助线。XObackb′a′c′例解

XObackb′a′c′XObackb′a′c′k′d′（1）先在水平投影上过k任作一直线cd，作过K点的辅助线的水平投影。（2）求出辅助线CD的正面投影c′d′。作图：如图所示（3）过点k作投影连线与c′d′相交即得k′。d

平面上的圆CBOPAHDOdbcaPH如图所示，P平面上有一圆，圆心为O，过圆心O作互相垂直的两直径AB和CD，其中AB为水平线，所以CD是P面的最大坡度线，其投影cd=CDcosα。平面上圆的投影一般为椭圆。

因此cd是直径CD的最短投影，即椭圆的短轴。ab=AB，反映实长，是椭圆的长轴。CBOPAHDOdbcaPH

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