高一--三角恒等变换讲义.docVIP

三角恒等变换讲义

3.1两角差的余弦公式

1．两角和与差的余弦公式

C(α－β)：cos(α－β)＝________________________________.

C(α＋β)：cos(α＋β)＝________________________________.

2．两角和与差的正弦公式

S(α＋β)：sin(α＋β)＝________________________________.

S(α－β)：sin(α－β)＝________________________________.

3.两角和与差的正切公式

(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝__________________.

(2)T(α－β)：tan(α－β)＝__________________.

4．两角和与差的正切公式的变形：

tanα＋tanβ＝__________________.

tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝______________.

tanα·tanβ＝__________________.

考点一给角求值

例1求以下各式的值．

(1)cos(α－45°)cos(15°＋α)＋cos(α＋45°)cos(105°＋α)．

(2)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；

例2求以下各式的值．

(1)eq\f(1－tan15°,1＋tan15°)；(2)tan20°＋tan40°＋eq\r(3)tan20°tan40°.

变式训练1求以下各式的值．

(1)cos(x＋20°)cos(x－40°)＋cos(x－70°)sin(x－40°)．

(2)sin14°cos16°＋sin76°cos74°；

(3)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)；

变式训练2求以下各式的值．

(1)eq\f(\r(3)＋tan15°,1－\r(3)tan15°)；(2)tan36°＋tan84°－eq\r(3)tan36°tan84°.

考点二给值求值

例3eq\f(π,2)βαeq\f(3π,4)，cos(α－β)＝eq\f(12,13)，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，求sin2α的值．

回忆归纳三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最根本的变换．例如：

α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，

α＝eq\f(1,2)[(α＋β)＋(α－β)]，α＝eq\f(1,2)[(β＋α)－(β－α)]等．

变式训练1α，β均为锐角，cosα＝eq\f(8,17)，sin(α－β)＝eq\f(21,29)，求cosβ的值．

考点三给值求角型

例4cosα＝eq\f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，且α、β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求β的值．

例5假设α，β均为钝角，且(1－tanα)(1－tanβ)＝2，求α＋β.

回忆归纳(1)此题属“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：

①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．

(2)确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．如此题求β的余弦值比求β的正弦值要好．

变式训练1α、β均为锐角，sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，求α－β的值．

变式训练2tanα，tanβ是方程x2＋3eq\r(3)x＋4＝0的两根，且－eq\f(π,2)αeq\f(π,2)，－eq\f(π,2)βeq\f(π,2)，求角α＋β.

考点四证明三角恒等式

例6sin(2α＋β)＝3sinβ，求证：tan(α＋β)＝2tanα.

回忆归纳证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、“往中间凑”等方法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异．

变式训练1证明：eq\f(sin?2α＋β?,sinα)－2cos(α＋β)＝eq\f(sinβ,sinα).

加强练习：

eq\f(sin68°－cos60°sin8°,cos68°＋sin60°sin8°)＝________.

2.假设sinα＋sinβ＝1－eq\f(\r(3),2)，cosα＋cosβ＝eq\f(1,