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专题03圆中的重要模型-圆弧的中点模型
当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面：三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，
弧，圆心角，圆周角的关系等等。其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上，还要注
意各知识点之间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的
综合题型以及压轴题型。
当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，
这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率
模型1、与垂径定理相关的中点模型
图1图2图3
1）如图1，已知点P是中点，连接OP，则OP⊥AB．
AB
2）如图2，已知过点P作MN∥AB，则MN是圆O的切线．
3）如图3，变换条件：连接BP、AP，若∠BPN∠A，则MN是圆O切线．
12023··8OACB60
例．（浙江九年级假期作业）如图，是半径为的的弦，点C是优弧的中点，，
ABAB
则弦的长度是（）
AB
A8B4CD
．．．43．83
22023··CDOAOBAC
例．（山东临沂统考一模）如图，是半圆的直径，点在半圆上，点为的中点，连接，
AD
BCBCBCA
，，与相交于点，过点作直线，交的延长线于点．
ADADEBF∥ADF
(1)BFO(2)
求证：是的切线；若ACBD，AE3，求阴影部分的面积．
32023··CEFOAOEF
例．（福建龙岩统考一模）如图，点是的中点，直线与相切于点，直线与切线
ABC
OCD
相交于点E，与相交于另一点D，连接，．
AB
(1)(2)DEF3DDCF
求证：AB∥EF；若，求的度数．
42023··O
例．（山东潍坊统考二模）如图，为的直径，点为圆周上一点（不与，重合），点
ABDABC
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