专题03 圆中的重要模型-圆弧的中点模型（原卷版）.pdf

专题03圆中的重要模型-圆弧的中点模型

当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面：三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，

弧，圆心角，圆周角的关系等等。其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上，还要注

意各知识点之间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的

综合题型以及压轴题型。

当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，

这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率

模型1、与垂径定理相关的中点模型

图1图2图3



1）如图1，已知点P是中点，连接OP，则OP⊥AB．

AB

2）如图2，已知过点P作MN∥AB，则MN是圆O的切线．

3）如图3，变换条件：连接BP、AP，若∠BPN∠A，则MN是圆O切线．

12023··8OACB60

例．（浙江九年级假期作业）如图，是半径为的的弦，点C是优弧的中点，，

ABAB

则弦的长度是（）

AB

A8B4CD

．．．43．83



22023··CDOAOBAC

例．（山东临沂统考一模）如图，是半圆的直径，点在半圆上，点为的中点，连接，

AD

BCBCBCA

，，与相交于点，过点作直线，交的延长线于点．

ADADEBF∥ADF



(1)BFO(2)

求证：是的切线；若ACBD，AE3，求阴影部分的面积．



32023··CEFOAOEF

例．（福建龙岩统考一模）如图，点是的中点，直线与相切于点，直线与切线

ABC

OCD

相交于点E，与相交于另一点D，连接，．

AB

(1)(2)DEF3DDCF

求证：AB∥EF；若，求的度数．

42023··O

例．（山东潍坊统考二模）如图，为的直径，点为圆周上一点（不与，重合），点

ABDABC

