专题06 圆中的重要模型-圆幂定理模型（原卷版）.pdfVIP

专题06圆中的重要模型--圆幂定理模型

圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理

以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷

（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。

模型1.相交弦模型

条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。

ECEA

结论：CAEBDEÞÞEC×EDEB×EA。

EBED

12023··CD

例．（广东广州九年级校考期中）如图，两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点P，大圆的弦

AB

经过点，且CD13，，两圆组成的圆环的面积是．

PPD4

22023··PTOTPAOAB

例．（江西景德镇九年级校考期末）如图，是⊙的切线，为切点，是割线，交⊙于、

CTDCD2AD3BD4PB

两点，与直径交于点．已知＝，＝，＝，那＝．

32023··

例．（江苏九年级专题练习）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．

(1)“”“”

为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的已知求证，请补充完整，并写

①CD______________

出证明过程．已知：如图，弦，交于点P，求证：．

AB

(2)②OCDABCDO

如图，已知是的直径，与弦交于点，且于点，过作的切线，交

ABABPPDBA

O5

的延长线于，为切点，若，的半径为，求的长．

EDAP2AE

模型2.双割线模型

条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。

ECCG

结论：CEGCHFÞÞEC×FCGC×HC

CHCF

例．（浙江九年级假期作业）如图：、PCD为⊙的两条割线，若PAPB30，PC3，则CD

12023··PABO

的长为（）

．．．．

A10B7C510D3

2023··OPAAB3POO

例2．（四川成都九年级校考阶段练习）如图，为的割线，且