2025年中考数学复习：根号2、根号3倍线段问题.docx

2,3

知识与方法

特殊形状的三角形的三边之比(从小到大)

涉及多条不相关线段的和差倍分问题，常将这些不相关线段通过全等三角形转移到同一个特殊三角形中.若是直角三角形，则考虑这个直角三角形三边之间的勾股定理关系.若是含有特殊角的直角三角形或等腰三角形或等边三角形，则考虑含有以上特殊角的三角形三边之比进行分析与求解.

典例精析

例1如图1-2-21,在四边形ABCD中,AB=23,CD=2,∠A=∠C=90°,∠B=60°,则AD的长为.

答案：2

【简析】解法一：可将不规则的四边形通过补的办法构造两个特殊的直角三角形，进而利用特殊直角三角形的边(角)之间的比例关系通过线段的和差解题.

如图1-2-22①,延长AD,BC相交于点E.

∵∠A=90°,∠B=60°,

∴∠E=90°?60°=30°.

∴BE=2AB=4

在Rt△BAE中,由勾股定理,得

AE=BE

解法二：通过分割的办法，将四边形分割成几个直角三角形，进而利用特殊直角三角形的边(角)之间的比例关系求解.如图1-2-22②，过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥AE于点F,根据两个直角三角形的特殊角及三边比例关系，可得BE=3,AE=3,因为CD=2,所以AF=1.利用特殊角30°可得AD=2.

解法三:如图1-2-22③,延长BA,CD相交于点E，设AD=x，根据两个直角三角形的特殊角及三边比例关系，可得AE=3x,ED=2x,所以

例2如图1-2-23,四边形ABCD中,AB=AC=AD,对角线AC,BD相交于点E.若AB⊥AC,AH⊥BC于点H,交BD于点F.

(1)若AD∥BC,求CEAE

(2)若EC=2AF,求证：AD

【简析】(1)由AD∥BC可得△BEC∽△DEA,所以CEAE=BCAD=BCAC=2;(2)由EC=2

解:(1)∵AD∥BC,

∴△BEC∽△DEA.

∴

又AD=AC,△BAC为等腰直角三角形,

∴BCAD=

(2)证法一:∵∠BAH=∠BCE=45°,BCB=ECF=2,∴△ABF∽△CBE.∴∠ABF=∠CBF.又AB=AD,∴∠ABD=∠ADB.

∴∠CBE=∠ADB,∴AD∥BC.

证法二:如图1-2-24,连接FC,∵CEAF=BCAC=

∴∠ACF=∠CBE.

又∠ACF=∠ABF=∠ADB,

∴∠CBE=∠ADF,

∴AD∥BC.

进阶训练

1.如图1-2-25,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠BAD=60°,AB=4,AD=5,则AC的值为

2.如图1-2-26,四边形ABCD中,∠BAC=90°,AB=AC,∠ADC=45°.若△BCD的面积是18,则CD的长为.

3.如图1-2-27,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,∠ADC=45°.若AB=AC,BD=25,CD=7,则AD的长为.

4.如图1-2-28,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点E,∠BDA=90°,∠CBE=30°,∠CEB=45°,AE=4EC,BC=2,则CD的长为.

5.如图1-2-29,已知等腰三角形ABC中,∠ACB=120°,P是线段CB上一动点(与点C,B不重合),连接AP,延长BC至点Q,使得∠PAC=∠QAC,过点Q作射线QH交线段AP于H,交AB于点M,使得∠AHQ=60°.

(1)若∠PAC=α,求∠AMQ的大小(用含α的式子表示)；

(2)在(1)的条件下，用等式表示线段QC和BM之间的数量关系，并证明.

6.如图1-2-30,在正方形ABCD中,P是边BC上的一动点(不与点B，C重合)，点B关于直线AP的对称点为E,连接AE,连接DE并延长交射线AP于点F,连接BF.

(1)求证:BF⊥DF;

(2)连接CF,用等式表示线段AF,BF,CF之间的数量关系，并证明.

7.在△ABC中,∠BAC=45°,CD⊥AB于点D,AE⊥BC于点E,连接DE.

(1)如图1-2-31①,当△ABC为锐角三角形时，

①依题意补全图形,猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；

②用等式表示线段AE，CE，DE之间的数量关系，并证明.

(2)如图②，当∠ABC为钝角时，依题意补全图形并直接写出线段AE，CE，DE之间的数量关系.

答案

|进阶训练|

1.27[解析]如图,延长BC,AD交于点E.

∵∠B=90°,∠BAD=60°,AB=4,

∴∠E=30°.

∴AE=2AB=8,BE=AB·tan∠BAE=4×