2025年中考数学复习：与中点有关的线段倍分问题.docx

与中点有关的线段倍分问题

知识与方法

解答中点问题的关键是恰当地添加辅助线，如作中线倍长、作直角三角形的斜边上的中线、构造三角形中位线、构造中心对称图形等，如图1-2-9所示：

典例精析

例如图1-2-10,在△ABC中,延长BC至点D,使CD=BC,F是AB的中点,连接DF交AC于点E，求AEAC

【简析】求线段的比值，因没有一条线段的长度是已知的，分别求出这两条线段的长行不通，故通过构造平行线，利用中位线或相似三角形的性质，通过其他线段的比进行代换.

解法一：

如图1-2-11,连接AD和FC.

因为CD=BC,F为AB中点,所以FC是△ABD的中位线.

所以FC

所以△FCE∽△DAE.

所以EC

所以AE=2EC.

所以AE

解法二：

如图1-2-12,取BC的中点M,连接FM,则DC=2CM,

因为F为AB的中点,M为BC的中点,所以线段FM是△ABC的中位线.

所以FMAC,

因为FM∥AC,

所以DC

所：以EC=

即AE

解法三：

如图1-2-13,过点C作

CM∥AB,交ED于点M.

因为CD=BC,

所以CM

又F为AB的中点,

所以CM

所以CEAE

即，AE=2CE.

所以AE

解法四：

如图1-2-14,过点B作BM∥AC,交DF的延长线于点M.

则AEMB

因为CD=BC,AF=FB,

所以AE

所以ECAE=1

解法五：

如图1-2-15,过点D作DM∥AB,交AC的延长线于点M.

因为DM∥AB,所以∠A=∠M.因为∠ACB=∠MCD,BC=CD,所以△ACB≌△MCD.

所以AB=MD,AC=CM.

因为DM∥AF,所以AE

又因为AF=

所以AE

所以MEAE=2,即

而AC=CM,所以AC+EC

即AC+

所以2AC

所以AE

进阶训练

1.如图1-2-16,△ABC中,D在AC上,且AD:DC=1:2,E为BD的中点,AE的延长线交BC于F,则BF:FC=.

2.如图1-2-17,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P.已知DC:BC:AC=1:2:3.

(1)求APPD

(2)当CD=2时,求BP的长.

3.如图1-2-18①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=5,D是AB上一点,过点D作DE⊥AC于点E,连接CD,BE,M,N分别是DC,BE的中点,连接MN.

(1)图①中，线段MN与线段CE之间的数量关系为；

(2)将△ADE绕点A顺时针旋转到图②的位置，连接BD，CE.试问(1)中的结论是否仍然成立?请判断并说明理由.

4.如图1-2-19,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,M为BC的中点,点D在MC上,以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE,DE.

(1)比较∠BAE与∠CAD的大小;用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明.

(2)过点M作AB的垂线,交DE于点N,用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明.

答案

|进阶训练|

1.1:3[解析]如图,过点D作DG∥AF交BC于点G，易得ADDC=FGGC

2.解:(1)过点A作AF∥DB,交BP的延长线于点F,如图.设DC=k,由DC:BC=1:2得BC=2k,DB=DC+BC=3k.

∵E是AC中点,

∴AE=CE.

∵AF∥DB,

∴∠F=∠1.

在△AEF和△CEB中,

∠F=∠1,

∴△AEF≌△CEB.

∴EF=BE,AF=BC=2k.

∵AF∥DB,

∴△AFP∽△DBP.

∴

∴APPD的值为

(2)当CD=2时,BC=4,AC=6,

∴EC=

∴EF=BE=5,BF=10.

∵FPBP=

∴BP=

3.解:(1)CE=2MN

[解析]如图①,取BC的中点P,连接MP,NP.

∵M,N分别是DC,BE的中点,

∴由三角形中位线性质可得MP=12

且∠NPM=180°-∠BPN-∠CPM=180°-90°-45°=45°.

由已知可得BD

过点N作NH⊥MP于点H.

则△PNH是等腰直角三角形,∴HP=HN=2

又PN=

∴NH=HM=HP=

∴△PMN为等腰直角三角形,MN=PN.

∴CE=2MN.

(2)结论仍然成立.

理由如下:如图②,取BC的中点P,连接PM,PN.

∵Rt△ABC中,AC=BC,∴∠DAE=∠BAC=45°.

又DE