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高一数学必修一第三章导学案

课题：§方程的根与函数的零点

编写:时间：

教学目的：

理解函数〔结合二次函数〕零点的概念；

领会函数零点与相应方程要的关系；

掌握零点存在的判定条件．

教学重点：零点的概念及存在性的判定．

教学难点：零点确实定．

问题导学

1、先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：

eq\o\ac(○,1)方程与函数

eq\o\ac(○,2)方程与函数

eq\o\ac(○,3)方程与函数

问题探究

函数零点的概念：

对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．

2、函数零点的意义：

函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．

即：

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

3、函数零点的求法：求函数的零点：

eq\o\ac(○,1)〔代数法〕求方程的实数根；

eq\o\ac(○,2)〔几何法〕对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数．

１〕△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．

２〕△＝０，方程有两相等实根〔二重根〕，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

３〕△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．

5、零点存在性的探索：

〔Ⅰ〕观察二次函数的图象：

eq\o\ac(○,1)在区间上有零点______；_______，_______,

·_____0〔＜或＞〕．

eq\o\ac(○,2)在区间上有零点______；·____0〔＜或＞〕．

〔Ⅱ〕观察下面函数的图象

eq\o\ac(○,1)在区间上______(有/无)零点；·_____0〔＜或＞〕．

eq\o\ac(○,2)在区间上______(有/无)零点；·_____0〔＜或＞〕．

eq\o\ac(○,3)在区间上______(有/无)零点；·_____0〔＜或＞〕．

6、应用：

例1．求函数的零点个数．

例2．求函数，并画出它的大致图象．

四、课堂练习

1．利用函数图象判断以下方程有没有根，有几个根：

〔1〕；

〔2〕；

〔3〕；

〔4〕．

2．利用函数的图象，指出以下函数零点所在的大致区间：

〔1〕；

〔2〕；

〔3〕；

〔4〕．

1．，请探究方程的根．如果方程有根，指出每个根所在的区间〔区间长度不超过1〕．

2．设函数．

〔1〕利用计算机探求和时函数的零点个数；

〔2〕当时，函数的零点是怎样分布的？

五、自主小结

课堂检查

教材P108习题3．1〔A组〕第1、2题；

求以下函数的零点：

〔1〕；

〔2〕；

〔3〕；

〔4〕．

求以下函数的零点，图象顶点的坐标，画出各自的简图，并指出函数值在哪些区间上大于零，哪些区间上小于零：

〔1〕；

〔2〕．

：

〔1〕为何值时，函数的图象与轴有两个零点；

〔2〕如果函数至少有一个零点在原点右侧，求的值．

求以下函数的定义域：

〔1〕；

〔2〕；

〔3〕

课题：§用二分法求方程的近似解

编写:时间：

教学目的：

理解二分法的概念及其适用条件；

了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．

教学重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．

教学难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．

问题探究

材料一：二分查找(binary-search)

〔第六届全国青少年信息学〔计算机〕奥林匹克分区联赛提高组初赛试题第15题〕某数列有1000个各不相同的单元，由低至高按序排列；现要对该数列进行二分法检索(binary-search)，在最坏的情况下，需检索〔?〕个单元。

Ａ．1000Ｂ．10?Ｃ．100?Ｄ．500

二分法检索〔二分查找或折半查找〕演示．

2、材料二：高次多项式方程公式解的探索史料

由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点〔即的根〕，对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法〔二次时，称为求根公式〕．

在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔〔Abel〕和伽罗瓦〔Galois〕的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四那么运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算