4.5　相似三角形判定定理的证明（北师大版九年级上册数学课件）.pptxVIP

第四章图形的相似4.5相似三角形判定定理的证明

情景导入我们已经学习过相似三角形的判定定理有哪些？(1)两角分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似．你能证明它们一定成立吗？

相似三角形判定定理的证明思考自主探究?

证明的主要思路是，在边AB上截取AD＝_____，作DE∥____，交AC于E，在△ABC中构造△ADE∽△ABC，再通过比例式得AE＝______，证△A?B?C?≌△ADE，从而得到△A?B?C?∽△ABC.A?B?BCA?C?

合作探究定理1：两角分别相等的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC和△ABC中，∠A=∠A，∠B=∠B.求证：△ABC∽△ABC．A′B′C′ABC在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候我们将对它们进行证明．

证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=AB，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则EDF∠1=∠B，∠2=∠C，∴ ∴A′B′C′ABC12过点D作AC的平行线,交BC于点F,则

∵DE∥BC,DF∥AC,∴四边形DFCE是平行四边形．∴DE=CF.∴ ∴而∠1=∠B，∠DAE=∠BAC，∠2=∠C，∴△ADE∽△ABC.EDFA′B′C′ABC12

∵∠A=∠A，∠ADE=∠B=∠B，AD=AB，∴△ADE≌△ABC．∴△ABC∽△ABC.EDFA′B′C′ABC12

如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，求证：△ABC∽△A′B′C′.BACBAC定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D，使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E.∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.BACDEBAC∴

∴A′E=AC.又∠A′=∠A.∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.∵A′D=AB，∴BACDEBAC

定理3：三边成比例的两个三角形相似.已知：如图，在△ABC和△ABC中，求证：△ABC∽△ABC.A′B′C′ACB

∴证明:在线段AB(或延长线)上截取AD=A′B′，过点D作DE∥BC交AC于点E.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.EDA′B′C′ACB又，AD=A′B′，

∴DE=B′C′，EA=C′A′. ∴△ADE≌△A′B′C′，△A′B′C′∽△ABC.∴，.EDA′B′C′ACB

活动1自主探究?C相似三角形判定定理的应用

2．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试证明：△ABF∽△EAD.证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，∴∠BAF＝∠AED.∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°.∴∠AFB＝∠D，∴△ABF∽△EAD.

典例讲解已知，如图，D为△ABC内一点，连接BD、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，连接DE.求证：△DBE∽△ABC.例

分析：由已知条件∠ABD＝∠CBE，∠DBC公用，所以∠DBE＝∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，可再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例．从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决．

证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE＝∠ABD，∠BCE＝∠BAD，∴△CBE∽△ABD，在△DBE和△ABC中，∠CBE＝∠ABD，∴∠CBE＋∠DBC＝∠ABD＋∠DBC，∴△DBE∽△ABC.∴，即：.∴∠DBE＝∠ABC且，

练一练1.如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是三边上的点，AE=BF=CD，那么△ABC与△DEF相似吗？请证明你的结论.答：相似．证明：∵△ABC为等边三角形．∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.又∵AE＝BF＝CD，∴AD＝FC＝EB，AEBCDF

则△AED≌△CDF≌△BFE.∴ED＝DF＝EF.△EDF为等边三角形．∴△DEF∽△ABC.AEBCDF

2.已知：如图，在△ABC中，D是AC上的一点，∠CBD