浙教版八年级数学下册冲刺重高培优训练 第九讲 特殊平行四边形.docx

第九讲特殊平行四边形

知识梳理

矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

矩形的性质：

1.平行四边形的性质矩形都具有。

2.角：矩形的四个角都是直角。

3.边：邻边垂直。

4.对角线：矩形的对角线相等。

5.矩形是轴对称图形，又是中心对称图形。它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点。

由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

矩形的判定：

1.有1个角是直角的平行四边形是矩形。

2.有3个角是直角的四边形是矩形。

3.对角线相等的平行四边形是矩形(或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”)。

证明1个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证明这个四边形的对角线相等。题设中出现多个直角或垂直时，常采用“3个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形。

菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。

菱形的性质：

1.菱形具有平行四边形的一切性质。

2.菱形的四条边都相等。

3.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

4.菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线。

菱形的面积计算：

1.利用平行四边形的面积公式。

2.菱形面积=1

菱形的判定：

1.一组邻边相等的平行四边形是菱形(平行四边形+一组邻边相等=菱形)。

2.四条边都相等的四边形是菱形。

几何语言:∵AB=BC=CD=DA,∴四边形ABCD是菱形。

3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形(或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”)。

几何语言:∵AC⊥BD,四边形ABCD是平行四边形,∴平行四边形ABCD是菱形。

正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形。

正方形的性质：

1.正方形的四条边都相等，四个角都是直角。

2.正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角。

3.正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

4.两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴。

正方形的判定方法：

1.先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等。

2.先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角。

3.还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定。

【例1】如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是()。

A.一直增大B.一直减小C.先减小后增大D.先增大后减少

【变式训练1】如图2,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,且BA=3,AC=4,点D是斜边BC上的一个动点,过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连接MN,则线段MN的最小值为。

【变式训练2】如图3,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,且BA=9,AC=12,点D是斜边BC上的一个动点,过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,点G为四边形DEAF对角线交点,则线段GF的最小值为()。

A.94B.185C.92

【例2】如图4,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AD上不与A和D重合的一个动点,过点P分别作AC和BD的垂线,垂足为E、F,求PE+PF的值。

【变式训练3】如图5：

(1)在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是线段AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，如图①，图②，选择其中一个图形，探究PE、PF之间存在什么数量关系，并证明你的结论。

(2)若将“P是线段AD上的动点”改成“P是线段AD延长线上一动点”，如图③所示，请继续探究PE、PF之间存在什么数量关系?并证明你的结论。

【例3】如图6,已知矩形ABCD,AB=4,AD=6,点E为AB边的中点,点F为BC边上的动点,点B和点B关于EF对称,则BD的最小值是

【变式训练4】如图7,在菱形ABCD中,AB=2,∠C=120°,点P是平面内一点，且∠APB=90°,则DP的最小值为。

【例4】如图8,在边长为4的菱形ABCD中,BD=4,E、F分别是AD、CD上的动点(包含端点),且AE+CF=4,连接BE、EF、FB。

(1)试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；

(2)求EF的最大值与最小值。

【