浙教版八年级数学下册冲刺重高培优训练 第十讲 中点的妙用.docx

第十讲中点的妙用

知识梳理

线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边的中线、中心对称图形、三角形中位线等丰富的知识，恰当的利用中点、处理中点是解与中点有关问题的关键。常见妙用方法如下：倍长中线、巧用斜中、构造中位线、中心对称造全等。

基本图形如下：

【例1】如图2,BD、CE是△ABC的中线,P、Q分别是BD、CE的中点,则PQ:BC等于()。

A.1:4B.1:5C.1:6D.1:7

【变式训练1】如图3,在△ABC中,点D在BC上,BD=AB,BM⊥AD于点M,N是AC的中点,连接MN。若AB=5,BC=8,则MN=。

【变式训练2】如图4,在梯形ABCD中,AD∥BC,E和F分别是BD、AC的中点,若BC=10,AD=6,则线段EF的长为()。

A.8B.5C.3D.2

【例2】如图5,在四边形ABCD中,AB=DC,E、F分别是AD、BC的中点,G、H分别是对角线BD、AC的中点。

(1)求证:四边形EGFH是菱形;

(2)若AB=54,则当∠ABC+

【变式训练3】如图6,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点。当BD、AC满足什么条件时,四边形EFGH是正方形。

【变式训练4】已知图7:如图①,四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H,顺次连接EF、FG、GH、HE,得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形)。

(1)四边形EFGH的形状是，证明你的结论；

(2)如图②，请连接四边形ABCD的对角线AC与BD，当AC与BD满足条件时，四边形EFGH是矩形；证明你的结论；

(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形?说明理由。

【例3】如图8,在梯形ABCD中,AD‖BC,点E、F分别是AB、CD的中点，我们把线段EF称为梯形AB-CD的中位线，通过观察、测量，猜想EF和AD，BC有怎样的位置关系和数量关系，并证明你的结论。

【变式训练5】如图9,DE是△ABCC的中位线,M、N分别是BD、CE的中点,DE=4,则MN=。

【变式训练6】如图10，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB。线段CF的中点为M,DH的中点为N,则线段MN的长为()。

A.102B.172

【例4】如图11,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,DE⊥DF,DE交AC于点E,DF交BC于点F。求证:EF2=AE2+BF2。

【变式训练7】如图12,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为斜边的中点,点E、点F分别在直线CA、BC上,且DE⊥DF。

(1)证明：△DEF是等腰直角三角形；

(2)求证:EF2=AE2+BF2;

(3)若AE=5,BF=12,求S△CEF的值;

(4)探索S△CEF、S△DEF、S△ABC之间的数量关系。

【变式训练8】如图13，△ABC是直角三角形，∠CAB=90°，D是斜边BC上的中点，一块直角三角板直角顶点与D重合，绕D转动，直角三角板的两直角边分别与AB、AC交于E、F。

(1)(如图①)若AB=AC，直角三角形在转动过程中是否始终有DE=DF，并说明理由；

(2)(如图①)若AB=AC,BE=12,CF=5,求△DEF的面积;

(3)(如图①)若AB=AC,求证:BE2+CF2=EF2;

(4)(如图②)若AB≠AC,是否仍然有BE2+CF2=EF2成立?并说明理由。

【例5】如图14,四边形ABCD中,BD⊥CD,CA⊥BA,点M、N分别为BC、AD中点。

(1)求证:MN⊥AD;

(2)若.AD=a,MN=b,求BC的长。

【变式训练9】如图15，在△ABC中，BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,点M、N分别是BC、DE的中点。

(1)求证:MN⊥DE;

(2)若∠A=60°,BC=12,求MN的值。

【变式训练10】如图16，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°,∠ADC=90°,,点E为AC中点,点F为BD中点。求证:EF⊥BD。

【例6】如图17,在等边△ABC中,AB=6,∠AFB=90°,则CF的最小值为()。

A.3B.3C.