浙教版八年级数学下册冲刺重高培优训练 第十一讲 正方形中的奥秘.docx

第十一讲正方形中的奥秘

知识梳理

正方形中存在割补、内接正三角形、构造等腰三角形、共点旋转、形外三角形及一次函数的综合应用等问题，解决此类问题需要充分应用好正方形的基本性质，有些图形结构需要熟练掌握。

【例1】如图2中图①，有5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以把它剪拼成一个正方形。

(1)拼成的正方形的面积是，边长是；

(2)仿照上面的做法，你能把下面这十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形吗?若能，在图②中画出拼接后的正方形，并求边长；若不能，请说明理由。

【变式训练1】如图3是一块3×5的矩形木板去掉一块1×2的小矩形后剩下的图形，现想把它分割后拼成一个大的正方形，画出分割线及拼接后的正方形。

【变式训练2】操作示例：

对于边长a的两个正方形ABCD和EFGH(图4)，按图①所示的方式摆放，再沿虚线BD、EG剪开后，可按图①所示的移动方式拼接成四边形BNED，从拼接的过程容易得到结论：

(1)四边形BNED是正方形;

实践与探究：

对于边长分别为a、b(ab)的两个正方形ABCD和EFGH，按图②所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE,交AB于点M,过点M作MN⊥DM,过点E作EN⊥DE,MN与EN相交于点N。

(1)证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；

(2)在图②中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法(类比图①，用数字表示对应的图形)。

应用：

如图③，从长40cm、宽30cm矩形钢板的左上角剪去一块长20cm、宽10cm矩形后，剩下的一块下脚料，工人师傅要将它适当切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能是正方形的工件，请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案，画出切割后所沿虚线，以及拼接后所得到的正方形。

【例2】适当地剪几刀，可以把图5中的十字变成一个正方形，有人说剪两刀就可以，你相信吗?不妨试试看。

【变式训练3】居家学习时，桥桥用5个边长为a的正方形组成图①所示十字图形，再沿着图①所示虚线剪了两刀把它拼成了一个正方形DCGH(说明：图中D、C均在格点上且DC⊥BE)。

(1)请在图②中把桥桥拼出的正方形补全，并标出顶点G、H；

(2)线上合作交流时，鑫鑫和莎莎对正方形DCGH的边长展开了讨论：

鑫鑫说：“可以通过勾股定理求得正方形DCGH的边长。”

莎莎说：“不用勾股定理也能得到正方形DCGH的边长。”

你知道鑫鑫和莎莎的做法是什么吗?请分别写出来。(结果用含a的代数式表示并化简)

【变式训练4】阅读下列材料，完成相应学习任务(图7)。

问题：如图①是一个由5个相同的正方形组成的十字形的纸片，把这一纸片沿一条直线截成两部分，然后把其中的一部分再沿着另一条直线截成两部分，使所得的三部分纸片通过适当的拼接能组成两个并列的全等的正方形，请在图中画出分割线及拼接后的图形。

分析：若设拼成的正方形的边长为x，十字形纸片中每个小正方形的边长为1，则2x2=5。解得x=102,所以拼成的两个小正方形的边长为102,如图②连接AB，根据勾股定理得

请你参考材料中思考问题的方法，解决下列问题：

图③、图④是由边长为1的小正方形组成的网格图，平行四边形ABCD的四个顶点均在格点上，请将图中的平行四边形ABCD进行适当的剪拼，使得分割后的各部分能拼成符合要求的新图形。

要求：(1)在图③、图④中画出分割线及拼接后的图形，所拼接的各部分之间不能互相重叠，不能留有空隙；

(2)图③中拼出的图形是等腰三角形，图④中拼出的图形是正方形。

【例3】正方形、等边三角形是常见的轴对称图形。如图8，设有一个边长为1的正方形ABCD，试在这个正方形中找出一个面积最大的和一个面积最小的内接等边三角形，并求出这两个图形的面积。

【变式训练5】如图9，正方形ABCD中内接正三角形AEF。求证：S

【变式训练6】图10：(1)如图①，在正方形ABCD的内部以AD为边用尺规作等边三角形(保留痕迹，不写作法)。

(2)如图②，已知等边△EFG的顶点E、F、G分别在正方形ABCD的边AD、AB、DC上((△EFG为正方形的内接正三角形)，EH⊥FG于点H,连接DH、AH。求证:△AHD为等边三角形。

(3)现想用一块边长为a的正方形纸板裁剪出面积最大的等边三角形，请在图③中用尺规完成裁剪方案(保留作图痕迹)；直接写出此时等边三角形的面积。

【例4】如图11，四边形ABCD是正方形，△PBC是等边三角形。容易看出点P与正方形的每条边都构成了等腰三角形，那么除了图中的P点