平面向量方法总结(带例题)【大全】.docx

平面向量

应试技巧总结

一．向量有关概念：

1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如：

已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））

2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；

3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；

4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。

提醒：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有)；

④三点共线共线；

6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如

下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_______

（答：（4）（5））

二．向量的表示方法：

1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；

2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；

3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。如

（1）若，则______

（答：）；

（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是

A.B.

C.D.

（答：B）；

（3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____

（答：）；

（4）已知中，点在边上，且，，则的值是___

（答：0）

四．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当0时，的方向与的方向相同，当0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0。

五．平面向量的数量积：

1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作，

称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。

2．平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如

样定义的：若，其中分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为。（1）若点P的斜坐标为（2，－2），求P到O的距离｜PO｜；（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系中的方程。

（答：（1）2；（2））；

七．向量的运算律：

1．交换律：，，；

2．结合律：，；

3．分配律：，。

如

下列命题中：①；②；③

；④若，则或；⑤若则；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正确的是______

（答：①⑥⑨）

提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？

八．向量平行(共线)的充要条件：＝0。如

(1)若向量，当＝_____时与共线且方向相同

（答：2）；

（2）已知，，，且，则x＝______

（答：4）；

（3）设，则k＝_____时，A,B,C共线

（答：－2或11）

九．向量垂直的充要条件：.特别地。如

(1)已知，若，则

（答：）；

（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，，则点B的坐标是________

（答：(1,3)或（3，－1））；

（3）已知向量，且，则的坐标是________

（答：）

十．线段的定比分点：

1．定比分点的概念：设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，若存在一个实数，使，则叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以定比为的定比分点；

2．的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段PP上时0；当P点在线段PP的延长线上时－1；当P点在线段PP的延长线上时；若点P分有向线段所成的比为，则点P分有向线段所成的比为。如

若点分所成的比为，则分所成的比为_______

（答：）

3．线段