计算机算法基础 第2版 习题及答案 第4章 .docx

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第4章 不基于比较的排序

不用Sterling公式，而用第2章中对(2.6)式证明的方法证明lgn!=?(nlgn)。

证明：首先，我们有lgn!=lg1+lg2+…+lgn=k=1nlgk?k=1nlgn=nlgn=O(n

再有lgn!=k=1nlgk?k=n/2nlgk?k=n/2nlgn2?n2lgn2

所以有lgn!=?(nlgn)。

假设序列A[1..n]含有n个不同的数并已从小到大排好，即A[1]A[2]…A[n]。为方便起见，还假定A[0]=-￥和A[n+1]=￥。考虑在这个序列中有哪些信誉好的足球投注网站一个给定数字x。如果有某个序号i存在使得x=A[i](1?i?n)，则报告成功并输出序号i。否则，找出两个相邻序号，i和i+1，满足A[i]xA[i+1]。证明，如果用比较的方法有哪些信誉好的足球投注网站的话，任何算法在最坏情况下需要至少élg(n+1)ù次比较。这题的结果和第2章习题5的结果证明二元有哪些信誉好的足球投注网站算法(例2.1)是最优的。

证明： 显然，x和序列A中任何一个数最多只须比较一次。所以，这样的有哪些信誉好的足球投注网站算法可以用一个决策树来描述。这是一个完全二叉树，其中每个内结点对应一个序列中数。假定第一次比较是在x和序列中某个数A[i]进行，那么树的根结点对应A[i]。我们有三种比较结果：

x=A[i]。这时有哪些信誉好的足球投注网站停止在这个结点并报告成功。

xA[i]。这种情形发生时，这以后算法进行的所有的比较用一个左子树描述。这时，如果这以后算法不再比较，则算法中止，左子树为一叶结点。

xA[i]。这种情况发生时，这以后算法进行的所有的比较用一个右子树描述。这时，如果这以后算法不再比较，则算法中止，右子树为一叶结点。

显然，一个算法必须正确地报告各种情况。对一个有n个数的序列，一共有2n+1种可能的情况，它们是x=A[i](1?i?n)，和A[i]xA[i+1]，0?i?n。因此，这个二叉树必须有至少2n+1个结点，包括内结点和外结点。假设这个树的高为h，那么它含有的结点数最多为：

1+2+4+…+2h=2h+1-1。

因此我们有2h+1-132n+1，即2h3n+1。由此得h3élg(n+1)ù。

因为深度为h的结点必定是个叶结奌并代表算法要进行h次比较的情况。因此在最坏情况下，任何算法需要至少élg(n+1)ù次比较。

假设在需要排序的6个数a1,a2,a3,a4,a5,a6中，已知a1a3a5，但此外不知道其他数字之间的任何关系。证明任何基於比较的排序算法在最坏情况下需要至少7次比较才能把这6个数排好序。

证明：在已知a1a3a5的情况下，这6个数可能有的不同的排列数是4′5′6=120。所以任一个基於比较的排序算法对应的决策树必须有至少120个叶子。设该树的高度为h，那么，下面关系必须满足：2h3120。因此有h37。这也就是说，某个叶子的深度至少为7。那么，当算法在这个叶子结束时必定经过了至少7次比较。所以任何基於比较的排序算法在最坏情况下需要至少7次比较。

对任意一个有n个内结点的完全二叉树T，其外路径总长EPL(T)和内路经总长IPL(T)满足以下关系:EPL(T)=IPL(T)+2n。

证明：我们对n进行归纳证明。

归纳基础：

当n=1时，显然有EPL(T)=2和IPL(T)=0。所以等式EPL(T)=IPL(T)+2n成立。

归纳步骤：

假设当内结点数为n=1，2，…，k-1(k?2)时，均有EPL(T)=IPL(T)+2n。我们证明在n=k时，该等式仍成立。假设完全二叉树T有k个内结点。如下图(a)所示，我们总可以找到一个内结点x，它的两个儿子都是叶子，标为a和b。如图(b)所示，如果我们把a和b从树中删去，我们可得到另一个完全二叉树T’。这个完全二叉树T’有k-1个内结点。

x

x

a

b

x

点x的两个儿子a和b都是叶子

把点x的两个儿子a和b都刪去后的二叉树T’

由归纳假设，我们有EPL(T’)=IPL(T’)+2(k-1)。

从树T和T’的关系，我们有以下关系：

EPL(T)=EPL(T’)–depth(x)+depth(a)+depth(b) (1)

IPL(T)=IPL(T’)+depth(x) (2)

由(1)–(2)，以及depth(a)=depth(b)，得到

EPL(T)-IPL(T)=EPL(T’)-IPL(T