平面向量与三角形四心问题.doc

平面向量基本定理与三角形四心

已知是内的一点，的面积分别为，，，求证：

如图2延长与边相交于点则

图1

图2

推论是内的一点，且，则

有此定理可得三角形四心向量式

是的重心

是的内心

是的外心

是的垂心

证明：如图为三角形的垂心，

同理得，

奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一

图⑹

图⑹

图⑸

【解析】∵，，则由题意得，

∵，

∴．∵与分别为和方向上的单位向量，∴与平分线共线，即平分．

同理可证：平分，平分．从而是的内心，如图⑸.

7已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足

，，则动点的轨迹一定通过的()．

A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心

【解析】由题意得，∴当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的内心，如图⑹.

8若O在△ABC所在的平面内：=，则O是△ABC的（）

A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心

解：∵向量的模等于1，因而向量是单位向量

∴向量、和等都是单位向量

∴由向量、为邻边构成的四边形是菱形，

∵

可得AO在∠BAC的平分线上

同理可得OB平分∠ABC，OA平分∠ACB，

∴O是△ABC的内心．

故选：C．

与“外心”有关的向量问题

8已知是所在平面上一点，若，则是的()．

A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心

图⑺

图⑺

图⑻

【解析】若，则，∴，则是的外心，如图⑺。

9已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的()。

A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心

【解析】由于过的中点，当时，表示垂直于的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以在垂直平分线上，动点的轨迹一定通过的外心，如图⑻

四心的相互关系

1.三角形外心与垂心的向量关系及应用

设的外心为，则点为的垂心的充要条件是。

2.三角形外心与重心的向量关系及应用

设的外心为，则点为的重心的充要条件是

3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用

设的外心、重心、垂心分别为、、，则、、三点共线（、、三点连线称为欧拉线），且。

相关题目

10．设△ABC外心为O，重心为G．取点H，使．

求证：（1）H是△ABC的垂心；

（2）O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2．

【解答】证明：（1）∵△ABC外心为O，

∴

又∵

∴

则=?==0

即AH⊥BC

同理BH⊥AC，CH⊥AB

即H是△ABC的垂心；

（2）∵G为△ABC的重心

∴=3=3+=

即=3

即O，G，H三点共线，且OH=3OG

即O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2