小学奥数通用版讲义(全国通用)7-6-1计数之归纳法(学生版+解析).docxVIP

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7-6-1.计数之归纳法

7-6-1.计数之归纳法

教学目标

教学目标

前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．

例题精讲

例题精讲

从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系．

如图所示，在2×2方格中，画一条直线最多穿过3个方格；在3×3方格中，画一条直线最多穿过5个方可知；那么在5×5方格中，画一条直线，最多穿过个方格。

一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直线最多分这个平面为多少部分?

【巩固】平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？

平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？

个三角形最多将平面分成几个部分？

一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？

在平面上画5个圆和1条直线，最多可把平面分成多少部分?

在一个西瓜上切刀，最多能将瓜皮切成多少片？

在一大块面包上切刀最多能将面包切成多少块．（注：面包是一个立体几何图形，切面可以是任何方向）

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7-6-1.计数之归纳法

7-6-1.计数之归纳法

教学目标

教学目标

前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．

例题精讲

例题精讲

从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系．

如图所示，在2×2方格中，画一条直线最多穿过3个方格；在3×3方格中，画一条直线最多穿过5个方可知；那么在5×5方格中，画一条直线，最多穿过个方格。

【考点】计数之归纳法【难度】2星【题型】填空

【关键词】希望杯，四年级，复赛，第14题，6分

边长每多1，穿过的方格多2，那么5×5的最多穿过3+2+2+2=9个方格

【答案】

一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直线最多分这个平面为多少部分?

【考点】计数之归纳法【难度】3星【题型】解答

方法一：我们可以在纸上试着画出1条直线，2条直线，3条直线，……时的情形，于是得到下表：

由上表已知5条直线最多可将这个平面分成16个部分，并且不难知晓，当有n条直线时，最多可将平面分成2+2+3+4+…+n=+1个部分．

方法二：如果已有k条直线，再增加一条直线，这条直线与前k条直线的交点至多k个，因而至多被分成k+1段，每一段将原有的部分分成两个部分，所以至多增加k+1个部分．于是3条直线至多将平面分为4+3=7个部分，4条直线至多将平面分为7+4=11个部分，5条直线至多将平面分为11+5=16个部分．

一般的有k条直线最多将平面分成：1+1+2+…+k=+1个部分，所以五条直线可以分平面为16个部分．

【答案】

【巩固】平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？

【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答

假设用ak表示k条直线最多能把圆的内部分成的部分数，这里k＝0，1，2，……

a0＝1

a1=a0+1＝2

a2=a1＋2=4

a3=a2＋3=7

a4=a3+4＝11

……

故5条直线可以把圆分成16部分，100条直线可以把圆分成5051部分

【答案】部分

平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？

【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答

先考虑最简单的情形．为了叙述方便，设平面上个圆最多能将平面分割成个部分．

从图中可以看出，，，，，……

可以发现满足下列关系式：．

实际上，当平面上的()个圆把平面分成个区域时，如果再在平面上出现第个圆，为了保证划分平面的区域尽可能多，新添的第个圆不能通过平面上前个圆之间的交点．这样，第个圆与前面个圆共产生个交点，如下图：

这个交点把第个圆分成了段圆弧，而这段圆弧中的每一段都将所在的区域一分为二，所以也就是整个平面的区域数增加了个部分．所以，．

那么，

．

故10个圆最多能将平面分成92部分．

【答案】

个三角形最多将平面分成几个部分？

【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答

设个三角形最多将平面分成个部分．

时，；

时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有个交点，三条边与