新教材高中数学第一章预备知识3不等式 基本不等式第2课时基本不等式的应用素养作业北师大版必修第一册.docx

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第一章§33.2第2课时

A组·素养自测

一、选择题

1．若x∈{x|－2＜x＜0},则x(2＋x)的最小值是(C)

A．－2 B．－eq\f(3,2)

C．－1 D．－eq\f(1,2)

[解析]因为x∈{x|－2＜x＜0},所以2＋x＞0,所以x(2＋x)＝－(－x)(2＋x)≥－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2－x,2)))eq\s\up12(2)＝－1,当且仅当x＝－1时,等号成立．

2．某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则(B)

A．x＝eq\f(a＋b,2) B．x≤eq\f(a＋b,2)

C．x＞eq\f(a＋b,2) D．x≥eq\f(a＋b,2)

3．当x＞1时,不等式x＋eq\f(1,x－1)≥a恒成立,则实数a的取值范围是(D)

A．a≤2 B．a≥2

C．a≥3 D．a≤3

[解析]由于x＞1,所以x－1＞0,eq\f(1,x－1)＞0,

于是x＋eq\f(1,x－1)＝x－1＋eq\f(1,x－1)＋1≥2＋1＝3,

当eq\f(1,x－1)＝x－1即x＝2时等号成立,

即x＋eq\f(1,x－1)的最小值为3,要使不等式恒成立,应有a≤3,故选D．

4．设x,y为正数,则(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))的最小值为(B)

A．6 B．9

C．12 D．15

[解析]x,y为正数,(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝1＋4＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥9,当且仅当y＝2x时等号成立．选B．

5．若对所有正数x,y,不等式x＋y≤aeq\r(x2＋y2)都成立,则a的最小值是(A)

A．eq\r(2) B．2

C．2eq\r(2) D．8

[解析]因为x＞0,y＞0,

所以x＋y＝eq\r(x2＋y2＋2xy)

≤eq\r(2x2＋2y2)＝eq\r(2)·eq\r(x2＋y2),

当且仅当x＝y时等号成立,

所以使得x＋y≤aeq\r(x2＋y2)对所有正数x,y都成立的a的最小值是eq\r(2)．故选A．

6．若点A(－2,－1)在直线mx＋ny＋1＝0上,其中m,n均大于0,则eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值为(C)

A．2 B．4

C．8 D．16

[解析]因为点A在直线mx＋ny＋1＝0上,

所以－2m－n＋1＝0,即2m＋n＝1．

因为m＞0,n＞0,所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝eq\f(2m＋n,m)＋eq\f(4m＋2n,n)＝2＋eq\f(n,m)＋eq\f(4m,n)＋2≥4＋2·eq\r(\f(n,m)·\f(4m,n))＝8,当且仅当m＝eq\f(1,4),n＝eq\f(1,2)时取等号．故选C．

二、填空题

7．已知x、y都是正数,

(1)如果xy＝15,则x＋y的最小值是__2eq\r(15)__；

(2)如果x＋y＝15,则xy的最大值是__eq\f(225,4)__．

[解析](1)x＋y≥2eq\r(xy)＝2eq\r(15),即x＋y的最小值是2eq\r(15)；当且仅当x＝y＝eq\r(15)时取最小值．

(2)xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(225,4),

即xy的最大值是eq\f(225,4)．

当且仅当x＝y＝eq\f(15,2)时xy取最大值．

8．已知正数a、b满足eq\f(9,a)＋eq\f(1,b)＝3,则ab的最小值为__4__．

[解析]eq\f(9,a)＋eq\f(1,b)＝3≥2eq\r(\f(9,ab))?eq\r(ab)≥2?ab≥4．

当且仅当eq\f(9,a)＝eq\f(1,b),即a＝6,b＝eq\f(2,3)时取等号．

三、解答题

9．若正数a、b满足：eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1,求eq\f(2,a－1)＋eq\f(1,b－2)的最小值．

[解析]正数a、b满足eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1,则eq\f(1,a)＝1－eq\f(2,b)＝eq\f(b－2,b),则eq\f(1,b－2)＝eq\f(a,b),由