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第九章统计

9.1随机抽样

1.全面调查与抽样调查

（1）对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查Ｗ.

（2）在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体Ｗ.

（3）根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查Ｗ.

（4）把从总体中抽取的那部分个体称为样本Ｗ.

（5）样本中包含的个体数称为样本量Ｗ.

（6）调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据.

2.简单随机抽样

（1）有放回简单随机抽样

一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤nN）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样.

（2）不放回简单随机抽样

如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.

（3）简单随机抽样

放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.

（4）简单随机样本

通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.

（5）简单随机抽样的常用方法

实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.

■名师点拨

（1）从总体中，逐个不放回地随机抽取n个个体作为样本，一次性批量随机抽取n个个体作为样本，两种方法是等价的.

（2）简单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样的公

平性.

3.总体平均数与样本平均数

（1）总体平均数

①一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称Y－＝Y1＋Y2＋…＋YNN

＝1N∑Ni＝1Yi为总体均值，又称总体平均数.②如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi（i＝1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y－＝1N∑ki＝1fiYi

Ｗ.（2）样本平均数

如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，

yn，则称y－＝y1＋y2＋…＋ynn

＝1n∑ni＝1yi为样本均值，又称样本平均数.在简单随机抽样中，我们常用样本平均数y－去估计总体平均数Y－.

4.分层随机抽样

（1）分层随机抽样

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层Ｗ.

（2）比例分配

在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.

5.分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数

（1）在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n.我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2，…，yn表示第2层

样本的各个个体的变量值，则：①第1层的总体平均数和样本平均数分别为X－＝

X1＋X2＋…＋XMM＝1M∑Mi＝1Xi，x－＝x1＋x2＋…＋xmm

＝1m∑mi＝1xi.②第2层的总体平均数和样本平均数分别为Y－＝Y1＋Y2＋…＋YNN＝1N∑Ni＝1

Yi，y－＝y1＋y2＋…＋ynn

＝1n∑ni＝1yi.③总体平均数和样本平均数分别为W－＝∑Mi＝1Xi＋∑Ni＝1YiM＋N，w－＝∑mi＝1xi＋∑n

i＝1yim＋n

Ｗ.（2）由于用第1层的样本平均数x－可以估计第1层的总体平均数X－，用第

2层的样本平均数y－可以估计第2层的总体平均数Y－.因此我们可以用

M×x－＋N×y－M＋N＝MM＋Nx－＋NM＋N

y－估计总体平均数W－.（3）在比例分配的分层随机抽样中，mM＝nN＝m＋nM＋N，可得MM＋Nx－＋NM＋N

y－＝mm＋nx－＋nm＋n

y－＝w－.因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数w－估计总体平均数W－.

6.获取数据的途径

获取数据的基本途径有：（1）通过调查获取数据；（2）通过试验获取数据；

（3）