2025年高二数学竞赛班二试平面几何讲义第八讲三角形的五心 .pdfVIP

其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。——《论语》

高二数学竞赛班二试平面几何讲义

第八讲三角形的五心（二）

班级姓名

一、知识要点：

1.垂心

三角形三条高的交点，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外

接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.

2．九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的

三条连接线段的中点，共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆。

ABC的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点，九点圆的半径是ABC

1

的外接圆半径的。

2

证明：ABC的九点圆与ABC的外接圆，以三角形的垂心为外位似中心，

又以三角形的重心为内位似中心。位似比均为1:2。

3．欧拉线：的垂心，重心，外心三点共线。此线称为欧拉线，

ABCHGO

且有关系：HG2GO

二、例题精析：

例1.设AAAA为⊙O内接四边形，H，H，H，H依次为△AAA，△AAA，

12341234234341

△AAA，△AAA的垂心.求证：H，H，H，H四点共圆，并确定出

4121231234

该圆的圆心位置.(1992，全国高中联赛)

AA1

2

.

H

H1O2

AA

34

数学

君子忧道不忧贫。——孔丘

例2.如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于

点M，FD和AC交于点N．求证：（1）OB⊥DF，OC⊥DE．（2）OH⊥MN．

A

O

F

HE

C

BD

N

M

例3.锐角△ABC中，O，G，H分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和

为d，重心到三边距离和为d，垂心到三边距离和为d.

外重垂

求证：1·d+2·d=3·d