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平面向量常见题型突破

考向一平面向量的线性运算

【例1】?如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则()．

eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0B.eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝0

C.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))＝0D.eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(FC,\s\up6(→))＝0

[审题视点]利用平面向量的线性运算并结合图形可求．

解：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，∴2eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(BE,\s\up6(→))＋2eq\o(CF,\s\up6(→))＝0即eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.A

方法总结：三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量，和用平行四边形法则，差用三角形法则．

变式练习：

1.在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，若点D满足eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝()．

A.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)cB.eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)cD.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c

解：∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝2(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))，∴3eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))

∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)c.答案A

2.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若则等于()A.B.C.D.

解:.

3.在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,或其中R,则.

解析:设b,a,则b-a,ba,=b-a.

代入条件得∴.

4.设P是△ABC所在平面内的一点,+=2,则()

A.+=0B.+=0C.+=0D.++=0

解析:因为+=2,所以点P为线段AC的中点,所以应该选B.

6.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且0,那么()

A.B.C.D.

解析:∵且

∵0.0,即.

7.已知AD是△ABC的中线,R),那么.

解:=+==-.

考向二：平面向量基本定理的应用

【例1】?(2012·南京质检)如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________.

解析由B，H，C三点共线，可令eq\o(AH,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，又M是AH的中点，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)xeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(1－x)eq\o(AC,\s\up6(→))，又eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→)).所以λ＋μ＝eq\f(1