平面向量的数量积的性质.doc

平面向量的数量积的性质

【问题导思】

已知两个非零向量a，b，θ为a与b的夹角.

1.若a·b＝0，则a与b有什么关系？

【提示】a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cosθ＝0，θ＝90°，a⊥b.

2.a·a等于什么？

【提示】|a|·|a|cos0°＝|a|2.

(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉；

(2)a⊥b?a·b＝0；

(3)a·a＝|a|2即|a|＝eq\r(a·a)；

(4)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(|a||b|≠0)；

(5)|a·b|≤|a||b|.

平面向量数量积的运算律

(1)交换律：a·b＝b·a；

(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c；

(3)数乘向量结合律：对任意实数λ，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb).

向量的数量积运算

(2013·海淀高一检测)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为120°，

(1)求a·b；(2)求a在b方向上的射影的数量.

【思路探究】利用数量积的定义及几何意义求解.

【自主解答】(1)a·b＝|a||b|cosθ

＝5×4×cos120°＝5×4×(－eq\f(1,2))＝－10.

(2)∵|a|cosθ＝5×cos120°＝－eq\f(5,2)，

∴a在b方向上的射影的数量为－eq\f(5,2).

1.在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写.

2.求平面向量数量积的方法

(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cosθ.

(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影的数量，可利用数量积的几何意义求a·b.

1.(2013·玉溪高一检测)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则a在b方向上的射影的数量是()

A.－4B.4

【解析】cosa，b＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－12,6×3)＝－eq\f(2,3)，向量a在向量b方向上的射影的数量为|a|cosa，b＝6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－4，故选A.

【答案】A

2.已知|a|＝6，e为单位向量，当向量a、e之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，分别求出a·e及向量a在e方向上的正射影的数量.

【解】当向量a和e之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，

|a|·|e|cos45°＝6×1×eq\f(\r(2),2)＝3eq\r(2)；

|a|·|e|cos90°＝6×1×0＝0；

|a|·|e|cos135°＝6×1×(－eq\f(\r(2),2))＝－3eq\r(2).

当向量a和e之间的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，a在e方向上的正射影的数量分别为：

2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，即2t＝λ且7＝λt，解得t＝±eq\f(\r(14),2).

故所求实数t的取值范围是－7，－eq\f(\r(14),2)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(14),2)，－\f(1,2))).

1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时).

2.数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a||c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，两者一般不同.

3.a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分.

1.对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中正确的是()

A.若a·b＝0，则a＝0或b＝0

B.若λa＝0，则a＝0或λ＝0

C.若a2＝b2，则a＝b或a＝－b

D.若a·b＝a·c，则b＝c

【解析】由向量数量积的运算性质知A、C、D错误.

【答案】B

2.(2013·安徽高考)若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________.

【解析】由|a|＝|a＋2b|，两边平方，得|a|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以a·b＝－|b|2.又|a|＝3|b|，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－|b|2,3|b|2)＝－eq\f(1,3).

【答案】－eq\f(1,3)

3.已知|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为60°，则向量a在向量b方向上的射影是________.

【解析】向量a在