中考数学二轮复习 专题14 三角形和旋转综合压轴挑战突破（解析版）.doc

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专题14三角形和旋转综合压轴挑战突破

1．（2022?菏泽）如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE＝DC，连接BE、CE．

（1）直接写出CE与AB的位置关系；

（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′、E′分别与点B、E对应），连接CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致？请说明理由；

（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的长．

【解答】解：（1）如图1，延长CE交AB于H，

∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，

∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠ABC＝∠DAB＝45°，

∵DE＝CD，

∴∠DCE＝∠DEC＝∠AEH＝45°，

∴∠BHC＝∠BAD+∠AEH＝90°，

∴CE⊥AB；

（2）在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致，

理由如下：如图2，延长CE交AB于H，

由旋转可得：CD＝DE，BD＝AD，

∵∠ADC＝∠ADB＝90°，

∴∠CDE＝∠ADB，

又∵＝1，

∴△ADB∽△CDE，

∴∠DAB＝∠DCE，

∵∠DCE+∠DGC＝90°，

∴∠DAB+∠AGH＝90°，

∴∠AHC＝90°，

∴CE⊥AB；

（3）如图3，过点D作DH⊥AB于点H，

∵△BED绕点D顺时针旋转30°，

∴∠BDB＝30°，BD＝BD＝AD，

∴∠ADB＝120°，∠DAB＝∠ABD＝30°，

∵DH⊥AB，

∴AD＝2DH，AH＝DH＝BH，

∴AB＝AD，

由（2）可知：△ADB∽△CDE，

∴∠DCE＝∠DAB＝30°，

∵AD⊥BC，CD＝，

∴DG＝1，CG＝2DG＝2，

∴CG＝FG＝2，

∵∠DAB＝30°，CE⊥AB，

∴AG＝2GF＝4，

∴AD＝AG+DG＝4+1＝5，

∴AB＝AD＝5．

2．（2022?潍坊）【情境再现】

甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．

请你证明：AG＝BH．

【迁移应用】

延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．

【拓展延伸】

小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．

【解答】【情境再现】

证明：由阅读材料知△OBE≌△OAF，

∴BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，

∴∠BEH＝∠AFG，

∵OH＝OG，

∴OH﹣OE＝OG﹣OF，即EH＝GF，

在△BHE和△AGF中，

，

∴△BHE≌△AGF（SAS），

∴BH＝AG；

【迁移应用】

解：猜想：DG⊥BH；证明如下：

由【情境再现】知：△BHE≌△AGF，

∴∠BHE＝∠AGF，

∵∠HOG＝90°，

∴∠AGF+∠GPO＝90°，

∴∠BHE+∠GPO＝90°，

∵∠GPO＝∠HPD，

∴∠BHE+∠HPD＝90°，

∴∠HDP＝90°，

∴DG⊥BH；

【拓展延伸】

解：猜想：BH＝AG，证明如下：

设AB交OH于T，OG交AC于K，如图：

由已知得：△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，

∴∠AOB＝90°，

∴OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，

∴△BOT∽△AOK，

∴＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，

∴OT＝OK，BT＝AK，∠BTH＝∠AKG，

∵OH＝GO，

∴HT＝OH﹣OT＝GO﹣OK＝（GO﹣OK）＝KG，

∴＝＝，

∴△BTH∽△AKG，

∴＝＝，

∴BH＝AG．

3．（2022?青岛）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△ADE，连接CD．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动、速度为1cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s．PQ交AC于点F，连接CP，EQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：

（1）当EQ⊥AD时，求t的值；

（2）设四边形PCDQ的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使PQ∥CD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）如图：

在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，

∵将△ABC绕点A