平面向量与三角形三心.doc

第

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向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

一、四心的概念介绍

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；

（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；

（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；

（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合

（1）是的重心.

证法1：设

是的重心.

证法2：如图

三点共线，且分

为2：1

是的重心

（2）为的垂心.

证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.

同理，

为的垂心

（3）设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心

为的内心.

证明：分别为方向上的单位向量，

平分,

)，令

（)

化简得

（4）为的外心。

典型例题分析

[例题]已知点G是内任意一点,点M是所在平面内一点.试根据下列条件判断G点可能通过的_______心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).

[提出问题]

(1)若存在常数,满足,则点G可能通过的__________.

(2)若点D是的底边BC上的中点,满足,则点G可能通过的__________.

(3)若存在常数,满足,则点G可能通过的__________.

(4)若存在常数,满足,则点G可能通过的__________.

[思路分析]以上四个问题的解决要求不同,除了熟悉三角形的“四心”的性质,同时更要熟悉平面向量的性质,对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉.

[解答过程](1)记,则.由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G是角平分线上的点,故应填内心.

(2)简单的变形后发现点G是BC边中垂线上的点,故应填外心.

(3)记,

则.由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G是BC边的中线上的点,故应填重心.

(4)分析后发现,本题学生难以找到解决问题的突破口,主要在于平面向量的数量

7．已知非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))满足(eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)+eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|))·eq\o(BC,\s\up6(→))=0且eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|)=eq\f(1,2),则△ABC为()

A．三边均不相等的三角形B．直角三角形

C．等腰非等边三角形D．等边三角形

8．已知三个顶点，若，则为（）

A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形

练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C