四川省眉山市第一中学2024-2025学年高二上学期12月期中考试数学试题 Word版.docx

2023级高二上学期半期考试

数学试卷

一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.直线的倾斜角是

A. B. C. D.不存在

2.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点坐标是（）

A. B.

C. D.

3.若如图中的直线的斜率分别为，则（）

A. B. C. D.

4.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）

A. B.

C.或 D.或

5.向量，若，且，则的值为（）

A.或1 B.1 C.3或 D.3或1

6.如图，已知大小为的二面角的棱上有两点A、B，，，，，若，，，则CD的长为（）

A.67 B.49 C.7 D.

7.皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，对数学作出了重大贡献，其中在1636年发现了：若p是质数，且a，p互质，那么a次方除以p的余数恒等于1，后来人们称该定理为费马小定理.依此定理若在数集中任取两个数，其中一个作为p，另一个作为a，则所取两个数符合费马小定理的概率为（）

A. B. C. D.

8.如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A. B. C. D.

二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．）

9.下列叙述错误的是（）

A.若事件发生的概率为，则

B.分层是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等

C.甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动，抽签决定谁去，则先抽的概率大些

D.对于任意两个事件和，都有

10.下列说法中，正确是（）

A.直线的一个方向向量为

B.，，三点共线

C.直线必过定点

D.经过点，倾斜角为直线方程为

11.如图，直三棱柱所有棱长均，，，，分别在棱，上，（不与端点重合）且，，分别为，中点，则（）

A.平面

B.过，，三点的平面截三棱柱所得截面一定为等腰梯形

C.在内部（含边界），，则到棱距离的最小值为

D.若，分别是平面和内的动点，则周长的最小值为3

三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）

12.已知直线过点，倾斜角为，则坐标原点到直线的距离为______．

13.已知过点的直线与以点和为端点的线段AB相交，求直线的斜率的取值范围______.

14.在棱长为2的正方体中，动点，分别在棱，上，且满足，当的体积最小时，与平面所成角的正弦值是______．

四、解答题：（第15题13分，16-17题每题15分，18-19题每题17分．）

15.在中，，边上高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为.

（1）求直线的一般式方程；

（2）求直线的一般式方程及点的坐标.

16.如图所示，已知是平行六面体．

（1）化简；

（2）设是底面的中心，是侧面对角线上的分点，设，试求，，的值．

17.某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至

少进入一个社团的概率为，且.

（1）求与的值；

（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率．

18.如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．

（1）证明：平面；

（2）若，

（i）求平面PDM与平面BDM的余弦值；

（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

19.已知，，，定义一种运算：，已知四棱锥中，底面是一个平行四边形，，，

（1）试计算的绝对值的值，并求证面；

（2）求四棱锥的体积，说明的绝对值的值与四棱锥体积的关系，并由此猜想向量这一运算的绝对值的几何意义.