高三理科数学第一轮复习立体几何-空间中的距离问题以及线面角问题.docVIP

2.空间中的距离问题以及线面角问题

1〕空间距离问题

考点1异面直线间的距离

异面直线间的距离：两条异面直线间的公垂线夹在这两条异面直线间的垂线段的长度。

考点2点到平面的距离

点到平面的距离：从平面外一点向平面引垂线，点到垂足间的线段的长度。

考点3直线与平面间的距离

直线与平面间的距离：如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，垂线段的长度。

考点4两平行平面间的距离

两平行平面间的距离：夹在两个平行平面间的垂线段的长度。

考点5用向量法求距离的公式

⑴异面直线之间的距离：

，其中。

⑵直线与平面之间的距离：

，其中。是平面的法向量。

⑶两平行平面之间的距离：

，其中。是平面的法向量。

⑷点A到平面的距离：

，其中，是平面的法向量。

另法：点平面,那么

⑸点A到直线的距离：

，其中，是直线的方向向量。

⑹两平行直线之间的距离：

，其中，是的方向向量。

考点一、异面直线间的距离

ECBPA

E

C

B

P

A

F

底面边长为2，E是BC中点，。

求证：EF是异面直线PA与BC的公垂线段；

求EF是异面直线PA与BC的距离

例题正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离。

考点二、点到平面的距离

ESDCAB自己做

E

S

D

C

A

B

求证：平面；

假设SA=4，AB=2，求点A到平面SBD的距离；

PQAB例题在二面角内有一点P，P到的距离分别为3和5，求P到的距离。

P

Q

A

B

考点三、线面距离、面面距离

自己做如图，棱锥的底面是边长为1的正方形，⊥平面且，E、F分别是AB、BC的中点，

〔1〕求D点到平面PEF的距离；

〔2〕求直线AC到平面PEF的距离。

例题在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图

(1)求证：平面A1BC1∥平面ACD1；

(2)求(1)中两个平行平面间的距离；

(3)求点B1到平面A1BC1的距离

2〕线线角及线面角

考点一、直线与平面所成的角

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,该直线与平面所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,那么此直线与平面所成的角是0°的角.

考点二、直线和平面所成的角

自己做如图,DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,

∠ACB=120°,P,Q分别为AE,AB的中点.

(1)证明:PQ∥平面ACD;

(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值.

例题如图，在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2〔如图甲〕。将三角形AEF沿EF折起到三角形的位置，使二面角成直二面角，连结、〔如图乙〕。

F

F

E

C

A

B

F

E

C

P

B

〔甲〕〔乙〕

求证：平面BEP；

求直线与平面所成的角的大小；

GF

G

F

E

C

P

B

F

E

C

A

B

D

〔甲〕〔乙〕

DC

D

C

B

A

E

F

空间角和空间距离结合考查

1如图，棱长为的正方体中，E、F分别为与AB的中点.

〔1〕、求与截面所成角的大小；

〔2〕、求点B到截面的距离；

解题思路求与截面所成角关键是找到,在截面上的投影，突破口可以从截面是菱形入手。而点B到面的距离即为点B到截面的距离。

解题过程〔1〕因为，所以四边形为菱形，故EF，

又EF,故EF平面,易得即为所求，在直角三角形中，。

〔2〕设点B到截面的距离为，由得：

可求得：。

方法提醒利用体积法求点面距离关键是寻找到适宜的四面体。

2如题〔19〕图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，．求：

〔Ⅰ〕点到平面的距离；

〔Ⅱ〕二面角的大小．

解题思路解法一：

〔Ⅰ〕因为AD//BC,且所以从而A点到平面的距离等于D点到平面的距离。

因为平面故,从而，由AD//BC，得,又由知，从而为点A到平面的距离，因此在中

(Ⅱ)如图，过E电作交于点G，又过G点作,交AB于H，故为二面角的平面角，记为，过E点作EF//BC,交于点F,连结GF,因平面,故.

由于E为BS边中点，故,在中，

,因，又

故由三垂线定理的逆定理得,从而又可得

因此而在中，

在中，可得，故所求二面角的大小为

解法二：

〔Ⅰ〕如图，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，