2024-2025学年上海市闵行六校高二上学期1月期末考试数学试卷含详解.docx

2024学年第一学期期末考试

高二数学试卷

考生注意：

1．本场考试时间120分钟,满分150分．

2．作答前,考生在答题纸正面填写学校,姓名,考生号,粘贴考生本人条形码．

3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位．在草稿纸,试卷上作答一律不得分

4．用2B铅笔作答选择题,用黑色笔迹钢笔,水笔或圆珠笔作答非选择题．

一,填空题（本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．若点直线,且直线平面,则.（填合适的符号）

2．直线的一个法向量为．

3．如图所示,是用斜二测画法画出的的直观图,其中,则的面积为.

4．已知向量平行于向量,则．

5．直线与直线的夹角的大小是.

6．若正三棱柱的所有棱长均为,且其体积为,则．

7．如图所示,在侧棱长为的正三棱锥中,,过作截面,周长的最小值为．

8．某圆锥的底面半径为1,沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形.则该圆锥的侧面积为.

9．在如图所示的圆柱中,是底面圆的直径,是圆柱的母线,且,点是底面圆周上的一点,且,则直线与平面所成的角的正切值为．

10．有下列命题：

①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形.

②侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱.

③存在每个面都是直角三角形的四面体.

④棱台的侧棱延长后交于一点．

其中,正确的命题是．(填序号)

11．台球运动已有五六百年的历史,参与者用球杆在台上击球．如图,有一张长方形球台,,现从角落沿角的方向把球打出去,球经2次碰撞球台内沿后进入角落的球袋中,若和光线一样,台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律,则的值为．

12．如图,已知直四棱柱的底面是边长为4的正方形,点M为CG的中点,点P为底面上的动点,若存在唯一的点P满足,则.

二,选择题（本大题共有4题,满分18分,第13,14题每题4分,第15,16题每题5分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑．

13．已知直线平面,则“直线”是“”的（????）

A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

14．若直线与直线平行,则它们之间的距离为（????）

A． B． C． D．

15．正方体中,为线段,上的一个动点,则下列错误的是（????）

A． B．平面

C．三棱锥的体积为定值 D．直线直线.

16．在正方体中,若点（异于点）是棱上一点,则满足和所成的角为45°的点有（???）

A．6个 B．4个 C．3个 D．2个

三,解答题（本大题满分78分）本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．如图,在直三棱柱中,,,且,分别是,的中点．

(1)证明：.

(2)求二面角的大小．（结果用反三角函数值表示）

18．已知直线的倾斜角为,,且这条直线经过点.

(1)求直线的方程.

(2)直线恒过定点,求点到直线的距离.

19．如图,四面体的各棱长均为2,,分别为棱,的中点,又设,,.

(1)用向量,,的线性组合表示向量,.

(2)求两条异面直线,所成角的大小．

20．如图,将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中,已知,,点,图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵,为了将这块玉石雕刻成工艺品,要先将瑕疵部分切割掉,可沿经过点的直线进行切割．

??

(1)求直线的倾斜角的取值范围．

(2)是否存在直线,使得点关于直线的对称点在线段上？

(3)设玉石经切割后剩余部分的面积为,求的取值范围．

21．在空间直角坐标系中,任何一个平面都能用方程表示．（其中,,,且）,且空间向量为该平面的一个法向量．有四个平面,,.

(1)若平面与平面互相垂直,求实数的值.

(2)根据点到直线的距离公式,类比出到平面的距离公式,并用利用法向量和投影向量的相关知识证明．

(3)若四个平面,,,围成的四面体的外接球体积为,利用（2）的结论求该四面体的体积．

1．

【分析】由点线面的位置关系判断即可.

【详解】点直线,且直线平面,则.

故答案为：

2．

【分析】先求得直线的斜率,由此求出与其垂直的直线的斜率,进而求得直线的一个法向量.

【详解】直线的斜率为.

故与其垂直的直线的斜率为.

故直线的一个法向量为.

故答案为：.

3．

【分析】利用原图和直观图的对应关系将直观图还原,即可得到原三角形的面积.

【详解】如图,将直观图还原,则.

的面积为.

故答案为：2.

4．

【分析】根据共线向量定理可求的值,故可求的值.

【详解】因为,故存在实数,使得.

故,