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第1章概述
1假设f(n)和g(n)为两个定义域为自然数的正函数。证明f(n)+g(n)(max(f(n),g(n)))。
证明：因为对任一n≥0，max(f(n),g(n))≤f(n)+g(n)≤2max(f(n),g(n))，所以有f(n)+g(n)
O(max(f(n),g(n)))和f(n)+g(n)(max(f(n),g(n)))，也就是f(n)+g(n)(max(f(n),g(n)))。
2假设f(n)(p(n))，g(n)(q(n))，并且都是正函数。证明以下结论。
(a)f(n)+g(n)(p(n)+q(n))
(b)f(n)g(n)(p(n)q(n))
(c)f(n)/g(n)(p(n)/q(n))
证明：因为f(n)(p(n))，g(n)(q(n))，所以存在常数a0,b0,c0,d0和n使得
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当n≥n时有ap(n)≤f(n)≤bp(n)和cq(n)≤g(n)≤dq(n)。
0
(a)从以上关系可知，当n≥n时，ap(n)+cq(n)≤f(n)+g(n)≤bp(n)+dq(n)。
0
让umin(a,c),vmax(b,d)，上式可写为
u(p(n)+q(n))≤f(n)+g(n)≤v(p(n)+q(n))
所以有f(n)+g(n)(p(n)+q(n))。
(b)由ap(n)≤f(n)≤bp(n)和cq(n)≤g(n)≤dq(n)，我们可得，当n≥n时，
0
ap(n)cq(n)≤f(n)g(n)≤bp(n)dq(n)。
让uac,vbd，上式可写为
u(p(n)q(n))≤f(n)g(n)≤v(p(n)q(n))。
所以有f(n)g(n)(p(n)q(n))
(c)由ap(n)≤f(n)≤bp(n)和cq(n)≤g(n)≤dq(n),我们可得，当n≥n时，
0
ap(n)/dq(n)≤f(n)/g(n)≤bp(n)/cq(n)。
让ua/d,vb/c，上式可写为
u(p(n)/q(n))≤f(n)/g(n)≤v(f(n)/q(n))。
所以有f(n)/g(n)(p(n)/q(n))。
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3对以下每个函数，用theta()记号表示与其同阶的只含一项的函数。例如，f(n
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