高三复习——二面角的求法.docVIP

高三复习——二面角的求法

一、直二面角情况：一般是通过几何求证的方法，主要依据是直线与平面垂直的判定定理。

BA

B

A

D

C

例2.在四棱锥A-BCDE中，底面是直角梯形，其中BC∥DE，∠BCD=90°，且DE=CD=BC，又AB=AE=BC，AC=AD，

MN

M

N

E

D

A

B

C

二、当二面角不是直二面角时可以采用下面几种方法。

DP

D

P

C

A

B

例3.如图三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=，D是BC的中点，且△ADC是边长为2的正三角形，求二面角P-AB－C的大小。

例4.如图在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，BS=BC，求以BD为棱，BDE与BDC为面的二面角的度数。

E

E

D

B

A

S

C

例5.如图：ABCD是矩形，AB=8，BC=4，AC与BD相交于O点，P是平面ABCD外一点，PO⊥面ABCD，PO=4，M是PC的中点，求二面角M-BD-C大小。

S

S

R

N

M

O

B

D

P

A

C

2.利用

此方法的优点只要找出射影图形及两个面积，不需要找出两面角的平面角，缺点是计算相对烦一些。

DBAE

D

B

A

E

C

例7.正方体AC，M、N分别是BB，DD的中点，求截面AMCN与面ABCD，CCDD所成的角。

D

D’

B’

D

A

C’

B

A’

C

M

N

3.利用公式

这个公式是异面直线上二点的距离公式，我们稍作改造便可以用于求二面角的大小。

事实上，以公垂线AA与a构成平面α，AA与b构成平面β，那么θ是两异面直线所成的角变成了二面角α-AA-β的平面角或它的补角〔要注意它们的范围可能发生了变化〕。

例8.如图AC⊥面BCD，BD⊥面ACD，假设AC=CD=1，∠ABC=30°，求二面角的大小。

B

B

F

E

A

C

D

DOAB

D

O

A

B

C

高三复习——二面角的求法

一、直二面角情况：一般是通过几何求证的方法，主要依据是直线与平面垂直的判定定理。

BA

B

A

D

C

证明：由题意可知：

AD⊥BC，AD⊥DC

∴AD⊥面BCD

又AD面ABD

∴平面ABD⊥平面BCD

例2.在四棱锥A-BCDE中，底面是直角梯形，其中BC∥DE，∠BCD=90°，且DE=CD=BC，又AB=AE=BC，AC=AD，

MN

M

N

E

D

A

B

C

证明：取BE的中点M，CD的中点N，

连结AM，AN，MN，

∵AB=AE()

∴AN⊥BE

同理AC=AD有AM⊥CD

在直角梯形BCDE中，

∵M、N分别是BE、CD的中点

∴MN∥BC

又∠BCD=90°

∴MN⊥CD

∴CD⊥面AMN

∴CD⊥AN

又AN⊥BE，CD、BE是梯形的两个腰，即它们一定相交，

∴AN⊥面BCD，又AM面ABE

∴面ABE⊥面BCD。

二、当二面角不是直二面角时可以采用下面几种方法。

1.充分利用二面角的定义，证明某角即为二面角的平面角，如找不到现成的，那么可以通过三垂线定理或其逆定理把它作出来再计算。

例3.如图三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=，D是BC的中点，且△ADC是边长为2的正三角形，求二面角P-AB－C的大小。

DP

D

P

C

A

B

∴CD=BD=2又△ADC是正三角形

∴AD=CD=BD=2

∴D是△ABC之外心又在BC上

∴△ABC是以∠BAC为直角的三角形，

∴AB⊥AC，又PC⊥面ABC

∴PA⊥AB(三垂线定理)

∴∠PAC即为二面角P-AB-C之平面角，

易求∠PAC=30°

例4.如图在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，BS=BC，求以BD为棱，BDE与BDC为面的二面角的度数。

ED

E

D

B

A

S

C

∴BD⊥SC，SC⊥面BDE

∴