中考数学二轮复习 专题06 四点共圆（专项训练）（原卷版）.doc

专题06四点共圆（专项训练）

1．（2021秋?渝北区期末）如图，圆内接四边形ABCD的外角∠ABE为80°，则∠ADC度数为（）

A．80° B．40° C．100° D．160°

2．（2021秋?滨湖区期中）如图，AB＝AD＝6，∠A＝60°，点C在∠DAB内部且∠C＝120°，则CB+CD的最大值（）

A．4 B．8 C．10 D．6

3．（2022?靖江市二模）如图，AB⊥BC，AB＝5，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠D＝90°，连接AD，则AD的最小值为．

4．如图，△ABC和△BCD均为直角三角形，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝2，连接AD．若∠ADB＝30°，则AC的长为．

5．如图，在四边形ABCD中，BD＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，则四边形ABCD面积的最大值为．

6．如图，在△ABC和△ACD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，AC＝6，则AD的最大值为．

7．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E，F分别为AB，AC边上的点，且∠EDF＝90°，连接EF，则∠DEF的度数为．

8．（2022秋?萧山区月考）如图，以C为公共顶点的Rt△ABC和Rt△CED中，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝∠DCE＝30°，且点D在线段AB上，则∠ABE＝30°，若AC＝10，CD＝9，则BE＝．

9．（2021秋?宽城区期末）【问题原型】如图①，在⊙O中，弦BC所对的圆心角∠BOC＝90°，点A在优弧BC上运动（点A不与点B、C重合），连结AB、AC．

（1）在点A运动过程中，∠A的度数是否发生变化？请通过计算说明理由．

（2）若BC＝2，求弦AC的最大值．

【问题拓展】如图②，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°．若M、N分别是AB、BC的中点，则线段MN的最大值为．

10．（2022秋?仪征市期中）【问题提出】

苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题：

1．如图（1），在⊙O的内接四边形ABCD中，BD是⊙O的直径．∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？

2．如图（2），若圆心O不在⊙O的内接四边形ABCD的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？

（1）小明发现问题1中的∠A与∠C、∠ABC与∠ADC都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明：

∵BD是⊙O的直径，

∴，

∴∠A+∠C＝180°，

∵四边形内角和等于360°，

∴．

（2）请回答问题2，并说明理由；

【深入探究】

如图（3），⊙O的内接四边形ABCD恰有一个内切圆⊙I，切点分别是点E、F、G、H，连接GH，EF．

（3）直接写出四边形ABCD边满足的数量关系；

（4）探究EF、GH满足的位置关系；

（5）如图（4），若∠C＝90°，BC＝3，CD＝2，请直接写出图中阴影部分的面积．

10．（2022?遵义）综合与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．

提出问题：

如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．

探究展示：

如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）

∵∠B＝∠D

∴∠AEC+∠B＝180°

∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）

∴点A，B，C，D四点在同一个圆上

反思归纳：

（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：；依据2：．

（2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为．

拓展探究：

（3）如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．

①求证：A，D，B，E四点共圆；

②若AB＝2，AD?AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．

11．如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BC于点E，CE＝BE，过点E作EF⊥AC于点F，FE的延长线交AB的延长线于点G，连接DE．

（1）求证：FG是⊙O的切线；

（2）求证：EG2