寒假自习课 25春初中数学九年级下册沪科版上课课件 24.2.2 垂径分弦.pptx

第24章圆24.2圆的基本性质24.2.2垂径分弦

逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2圆的轴对称性垂径定理垂径定理的推论

知识点圆的轴对称性知1－讲1圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.(1)圆的对称轴有无数条.(2)“圆的对称轴是直径所在直线”或说成“圆的对称轴是经过圆心的直线”.

知1－讲警示误区因为直径是弦，弦是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”.

知1－练[中考·张家界改编]下列图形中，不是轴对称图形的是()例1

知1－练解题秘方：由于圆的特殊轴对称性，只需判断圆内图形是否是以过圆心的直线为对称轴的轴对称图形即可.知识储备判断一个图形是不是轴对称图形，关键看能否找到一条直线，使得沿着这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，若能，这个图形是轴对称图形，否则不是.

知1－练解：A.是轴对称图形；B.不是轴对称图形；C.是轴对称图形；D.是轴对称图形．答案：B

知识点垂径定理知2－讲21.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.2.示例如图24.2-10，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，那么垂径定理可用几何语言表述为CD是直径，CD⊥AB，?AE=BE，AD=BD，AC=BC︵︵︵︵

知2－讲特别提醒“垂直于弦的直径”还可以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线.其实质是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可.“两条弧”是指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆.

知2－练?例2

知2－练解题秘方：构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求线段的长.方法提醒利用垂径定理求线段长的方法：垂径定理是解决圆中的计算、证明问题常用的知识，求线段长时，一般把半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解，即用“垂径定理+勾股定理”求解.

知2－练?答案：B

知2－练如图24.2-12，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB上两点，且AC=BD.求证：△OCD为等腰三角形.例3

知2－练解题秘方：构建垂径定理的基本图形，结合线段垂直平分线的性质证明.解题通法证明线段相等、证明两线垂直、证明角相等都经常用到垂径定理.在使用垂径定理时，已知圆心，作垂直于弦的半径(或直径)或连半径，是常用的作辅助线的方法.

知2－练证明：如图24.2-12，过点O作OM⊥AB，垂足为M，则AM=BM.∵AC=BD，∴CM=DM.又∵OM⊥CD，∴OC=OD，即△OCD为等腰三角形.

知识点垂径定理的推论知3－讲31.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

知3－讲2.示例如图24.2-13，CD是⊙O的直径，AB是弦(非直径)，AB与CD相交于点E，且AE=BE，那么CD垂直于AB，并且AC=BC，AD=BD.可用几何语言表述为：CD是直径，AE=BE，AB不是直径?CD⊥AB，AD=BD，AC=BC︵︵︵︵︵︵︵︵

知3－讲3.弦心距圆心到弦的距离叫做弦心距.

知3－讲拓宽视野对于一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么一定具备其他三个：(1)过圆心；(2)垂直于弦；(3)平分弦(非直径)；(4)平分弦所对的劣弧；(5)平分弦所对的优弧.简记为“知二推三”

知3－练如图24.2-14，AB，CD是⊙O的弦，M，N分别为AB，CD的中点，且∠AMN=∠CNM.求证：AB=CD.例4

知3－练解题秘方：紧扣弦的中点作符合垂径定理推论的基本图形，再结合全等三角形的判定和性质进行证明.解题通法证明两条弦相等的方法：证明两条弦相等，可以先证明弦的一半相等.根据垂径定理的推论，连接圆心和弦的中点是常见的作辅助线的方法.

知3－练证明：如图24.2-14，连接OM，ON，OA，OC.∵O为圆心，且M，N分别为AB，CD的中点，∴AB=2AM，CD=2CN，OM⊥AB，ON⊥CD.∴∠OMA=∠ONC=90°.

知3－练∵∠AMN=∠CNM，∴∠OMN=∠ONM.∴OM=ON.又∵OA=OC，∴Rt△OAM≌Rt△OCN.∴AM=CN.∴AB=CD.

知3－练如图24.2-15，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB)，点O是这段弧所在圆的圆心，点C是AB的中点，半径OC与AB相交于点D，AB=120m，CD=20m，求这段弯路所在圆的半径.例5︵︵

知3－练解题秘方：紧扣垂径定理的推论，利用“平分弧，且经过圆心”推出“垂直平分弦”，结合勾股定理求出半径的长.方法点拨本题条件中出现弧的中点，根据垂径定理的推论