平面向量基本概念与运算法则及相对应练习题(含答案).doc

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平面向量1

一、向量的基本概念

思考：生活中有哪些量是既有大小又有方向的？哪些量只有大小没有方向？

向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量。

回答下列问题：

.数量与向量有何区别？

.如何表示向量？

.有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？

.长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？

数量和向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，不能比较大小。

2.向量的表示方法：

=1\*GB3①用有向线段表示；=2\*GB3②用字母a、b(黑体)等表示；=3\*GB3③用有向线段的起点与终点字母表示：；向量的大小——长度称为向量的模，记作||。

有向线段：

具有方向的线段叫做有向线段，三要素：起点、方向、长度。

向量与有向线段的区别：

=1\*GB2⑴向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；

=2\*GB2⑵有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向，也是不同的有向线段。

零向量、单位向量概念：

=1\*GB3①长度为0的向量叫零向量，记作。

=2\*GB3②长度为1个单位长度的向量，叫做单位向量。

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。

满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量？

相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量。

说明：=1\*GB2⑴向量与相等，记作=；

=2\*GB2⑵零向量与零向量相等；

=3\*GB2⑶任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。

平行向量的定义：

=1\*GB3①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

=2\*GB3②我们规定与任一向量平行。

说明：=1\*GB2⑴综合=1\*GB3①=2\*GB3②才是平行向量的完整定义；

=2\*GB2⑵向量平行，记作。

向量的运算法则

1.向量的加法

问题：数可进行加法运算：1+2=3，那么向量的加法是怎样定义的？长度是1的向量与长度是2的向量相加是一定是长度为3的向量呢？

=1\*GB3①某人从A到B，再从B按原方向到C，则两次的位移和：；

=2\*GB3②若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，则两次的位移和；

=3\*GB3③某人从A到B，再从B改变方向到C，则两次的位移和。

=1\*GB2⑴向量的加法：

求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

=2\*GB2⑵三角形法则：

=3\*GB2⑶四边形法则：

练习：化简

2.向量的减法

探究：1.向量是否有减法？

2.向量的减法是否与数的减法有类似的法则？

=1\*GB2⑴相反向量：与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。

=1\*GB3①；

=2\*GB3②任一向量与其相反向量的和是零向量，即：；

=3\*GB3③如果是互为相反的向量，则：。

=2\*GB2⑵向量的减法：

向量加上的相反向量，叫做和的差。即

向量减法法则：两向量起点相同，则差向量就是连结两向量终点，指向被减向量终点的向量。

注意：=1\*GB3①起点相同；=2\*GB3②指向被减向量的终点。

例1.平行四边形ABCD中，，用、表示向量。

例2.已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的向量分别为、、，试用向量、、表示。

向量的数乘运算

实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：

=1\*GB2⑴；

=2\*GB2⑵当0时，的方向与的方向相同；当0时，的方向与的方向相反；特别的，当=0或=时，=。

注意：实数与向量，可以做积，但不可以做加减法，即+，-是无意义的。

实数与向量的积的运算律：

设、为任意向量，为任意实数，则有：

9．（2005全国卷Ⅰ理）的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m=

10.（2007陕西文、理）如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且＝＝1，＝.若＝的值为.

（三）

11、（2006全国Ⅰ卷理）设平面向量、、的和。如果向量、、，满足，且顺时针旋转