平面向量知识点和例题.docx

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第二章平面向量

1.向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量。

数量：我们把只有大小没有方向的量称为数量。

2.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。

有向线段三要素：起点、方向、长度。

3.向量的长度（模）：向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作。

4.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作，零向量的方向是任意的。

单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。

5.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若向量、是两个平行向量，那么通常记作∥。平行向量也叫做共线向量。我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任一向量，都有∥。

6.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量、是两个相等向量，那么通常记作=。

7.如图，已知非零向量、，在平面内任取一点A，作=，=，则向量叫做与的和，记作，即。

向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则。

8.对于零向量与任一向量，我们规定：+=+=

9.公式及运算定律：①②≤

③④

10.相反向量：①我们规定，与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作-。和-互为相反向量。

②我们规定，零向量的相反向量仍是零向量。

③任一向量与其相反向量的和是零向量，即。

④如果、是互为相反的向量，那么=-，=-，。

⑤我们定义，即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。

11.向量的数乘：一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘。记作，它的长度与方向规定如下：①②当λ＞0时，的方向与的方向相同；当λ＜0时，的方向与的方向相反；λ=0时，=

12.运算定律：①②③④⑤

13.定理：对于向量（≠）、，如果有一个实数λ，使=，那么与共线。相反，已知向量与共线，≠，且向量的长度是向量的长度的μ倍，即||=μ||，那么当与同方向时，有=；当与反方向时，有=。则得如下定理：向量向量（≠）与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=。

14.平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使。我们把不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

15.向量与的夹角：已知两个非零向量和。作，，则（0°≤θ≤180°）叫做向量与的夹角。当θ=0°时，与同向；当θ=180°时，与反向。如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作。

16.补充结论：已知向量、是两个不共线的两个向量，且m、n∈R，若，则m=n=0。

17.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。

18.两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）。即若，，则，

19.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。即若，则

_x_y_L_P2_P_P120.当且仅当x1y2-x

_

x

_

y

_

L

_

P2

_

P

_

P1

21.定比分点坐标公式：当时，P点坐标为

①当点P在线段P1P2上时，点P叫线段P1P2的内分点，λ＞0

②当点P在线段P1P2的延长线上时，P叫线段P1P2的外分点，λ＜-1；

当点P在线段P1P2的反向延长线上时，P叫线段P1P2的外分点，-1＜λ＜0.

C.点与图中的点重合D.点与图中的点重合

14、在三棱柱中，若，则等于()

A.B.C.D.

15、如图，正六边形中，（）

A.B.C.D.

16、已知，且，则等于（）

A.B.C.D.

17、在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同两点，若，，为正数，则的最小值为

A.2B.C.D.

18、设两个非零向量与不共线，如果和共线那么的值是（）

A.1B.-1C.3D.

19、点在直线上运动，，，则的最小值是（）

A.B.C.3D.4

20、已知向量，，则向量与的夹角为()

A.135°B.60°C.45°D.30°

21、如图，在半径为的圆中，已知弦的长为，则（）

A.B.C.D.

22、若四边形ABCD是正方形，E是