平面向量知识点总结与训练.doc

第二章平面向量

知识点归纳

向量的基本概念与基本运算

1向量的概念：

①向量：既有大小又有方向的量向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法，；坐标表示法向量的大小即向量的模（长度），记作||即向量的大小，记作｜｜

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．

②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝｜｜＝0由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）

③单位向量：模为1个单位长度的向量

向量为单位向量｜｜＝1

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作∥由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为大小相等，方向相同

2向量加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法

设，则+==

（1）；

（2）向量加法满足交换律与结合律；

向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：

（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量

（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

，但这时必须“首尾相连”．

3向量的减法

①相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量

记作,零向量的相反向量仍是零向量

关于相反向量有：（i）=；(ii)+()=()+=；

(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=

②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，

记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法

③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）

4实数与向量的积：

①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的

②数乘向量满足交换律、结合律与分配律

5两个向量共线定理：

向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=

6平面向量的基本定理：

如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

巩固练习

例1给出下列命题：

①若||＝||，则=；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③若=，=，则=，

④=的充要条件是||=||且//；

⑤若//，//，则//，

其中正确的序号是

例2设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：

①，②③

例3设非零向量、不共线，=k+，=+k(k?R)，若∥，试求k

例4已知向量，，且，求实数的值

例5已知点,试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点的坐标

例6已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角

例7已知，，，按下列条件求实数的值

（1）；（2）；

例8已知，，且与夹角为120°求

=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶与的夹角。

例9已知向量=，=。

=1\*GB2⑴求与；=2\*GB2⑵当为何值时，向量与垂直？

=3\*GB2⑶当为何值时，向量与平行？并确定此时它们是同向还是反向？

例10已知=，=，=，设是直线上一点，是坐标原点

=1\*GB2⑴求使取最小值时的；=2\*GB2⑵对（1）中的点，求的余弦值。

例11在中，为中线上的一个动点，若

求：的最小值。