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平面向量中三点共线定理的应用
知识梳理
(一)、对平面内任意的两个向量的充要条件是:存在唯一的实数,使由该定理可以得到平面内三点共线定理:
(二)、三点共线定理:在平面中A、B、P三点共线的充要条件是:对于该平面内任意一点的O,存在唯一的一对实数x,y使得:且。
特别地有:当点P在线段AB上时,
当点P在线段AB之外时,
典例剖析
已知是的边上的任一点,且满足,则的最小值是
分析:点P落在的边BC上B,P,C三点共线
由基本不等式可知:,取等号时,符合
所以的最小值为9
点评:本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起,较综合考查了学生基本功.
例2、在△ABC中,,点P是BC上的一点,若,则实数m的值为()
A.B.C.D.
分析:三点共线,又,故选C
例3、在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若=m,=n,则m+n的值为.
:因为O是BC的中点,故连接AO,如图4,由向量加法的平行四边形法则可知:
,
图4又三点共线,
图4
由平面内三点共线定理可得:
6、(2008年广东卷)在平行四边形中,与交于点是线段的中点,的延长线与交于点.若,,则()
A.B.C. D.
7、在平行四边形ABCD中,,CE与BF相交于点G,记,,则=()
A.B.C. D.
8、在△ABO中,已知,且AD与BC相交于点M,设则(结果用表示)
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